阜阳三中2011级物理竞赛资料5 使用时间：2013年4月25日 班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价：
考查P点，U2qP = k
R + U半球面 其中 U半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即 U半球面= －UQ 以上的两个关系已经足以解题了。 〖答〗UQ = k
2qR － UP 。
【物理情形3】如图7-13所示，A、B两点相距2L ，圆弧OC?D是以B为圆心、L为半径的半
圆。A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为－q的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从O点沿OC?D移到D点，电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远b、电介质的极化：当介质中存在外电场时，无极分子会变为有极分子，有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列，如图7-4所示。
2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷
a、束缚电荷与自由电荷：在图7-4中，电介质左右两端分别显现负电和正电，但这些电荷并不能自由移动，因此称为束缚电荷，除了电介质，
导体中的原子核和内层
电子也是束缚电荷；反之，能够自由移动的电荷称为自由电荷。事实上，导体中存在束缚电荷与自由电荷，绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷，只是它们的比例差异较大而已。
b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷，就是指图7-4中电介质两端显现的电荷。而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的，它是指可以自由移动的净电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是：前者能够用来冲放电，也能用仪表测量，但后者却不能。
第二讲 重要模型与专题
一、场强和电场力
【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。 【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。
如图7-5所示，在球壳内取一点P ，以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS1和ΔS2 ，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P点激发的场强分别为
ΔE?S1 = k
?1r2
1 第1页 共4页 ΔE?S2 = k
?2r2
2为了弄清ΔE1和ΔE2的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ ，显然
?S1cos?ΔΩ =
?S2cos?
r2 = 1r22所以 ΔE = k??? ，ΔE???1cos?
2 = kcos?
，即：ΔE1 = ΔE2 ，而它们的方向是相反的，故在P
点激发的合场强为零。
同理，其它各个相对的面元ΔS3和ΔS4 、ΔS5和ΔS6 ? 激发的合场强均为零。原命题得证。【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。 【解析】如图7-6所示，在球面上的P处取一极小的面元ΔS ，它在球心O点激发的场强大小为
ΔE = k
??SR2 ，方向由P指向O点。
无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性，Σ
E?ix = Σ
E?iy = 0 ，最后的ΣE = ΣEz ，所以先求
ΔEk??Scos?z = ΔEcosθ= R2 ，而且ΔScosθ为面元在xoy
平面的投影，设为ΔS′
所以 ΣEk?z =
R2ΣΔS′
而 ΣΔS′= πR2
【答案】E = kπσ ，方向垂直边界线所在的平面。
〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为?，那么，球心处的场强又是多少？
〖推荐解法〗将半球面看成4个1球面，每个1球面在x、y、z三个方向上分量均为1884 kπ?，
能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE = ΣEx …
〖答案〗大小为kπ?，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。 【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R ，电荷体密度为ρ ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O′点，半径为R′，OO?= a ，如图7-7所示，试求空腔中各点的场强。
【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”），二是填补法。
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将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点P ，设OP = r1 ，O?P = r2 ，则大球激发的场强为
E?4r3141 = k
3? = 3kρπr1 ，方向由O指向P
r21“小球”激发的场强为 4E?r322 = k
?3r2 = 423kρπr2 ，方向由P指向O′
E1和E2的矢量合成遵从平行四边形法则，ΣE的方向如图。又由于矢量三角形PE1ΣE和空间位置三角形OP O′是相似的，ΣE的大小和方向就不难确定了。
【答案】恒为43kρπa ，方向均沿O → O′，空腔里的电场是匀强电场。
〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大？
〖解说〗上面解法的按部就班应用…
3〖答〗4πkρqR?33?
b2?
R(b?a)2?。
二、电势、电量与电场力的功
【物理情形1】如图7-8所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，PO = r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP 。
【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL ，它在P点形成的电势
ΔU = k??L
R2?r2环共有
2?R?L段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。
【答案】U2?k?RP =
R2?r2〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q ，则UP的结论为多少？如果这个总电量的分布不
是均匀的，结论会改变吗？
〖答〗UP =
kQ ；结论不会改变。
R2?r2〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q ，试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？
〖解说〗（1）球心电势的求解从略；
球内任一点的求解参看图7-5
第1页 共4页 2ΔU??S1 = k
1= k
?〃???r1r1r1cos?= k?ΔΩ
r1cos?
ΔUr2 = k?ΔΩ
2
cos?
它们代数叠加成 ΔU = ΔU1 + ΔU2 = k?ΔΩr1?r2cos?
而 r1 + r2 = 2Rcosα
所以 ΔU = 2Rk?ΔΩ
所有面元形成电势的叠加 ΣU = 2Rk?ΣΔΩ
注意：一个完整球面的ΣΔΩ = 4π（单位：球面度sr），但作为对顶的锥角，
ΣΔΩ只能是2π ，所以——
ΣU = 4πRk?= k
QR
（2）球心电势的求解和〖思考〗相同；
球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。
〖答〗（1）球心、球内任一点的电势均为k
QR ；（2）球心电势仍为kQR ，但其它各点的电势
将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）。
【相关应用】如图7-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2 ，带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。
【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。
根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q ，外壁的电荷量为+Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以?
【答案】UQQ?qo = k
r － k
QR + k
1R 。
2〖反馈练习〗如图7-10所示，两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为RA和RB ，现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。
〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形，B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的。
此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A壳）的电势为零。但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果．．．，它是点电荷q 、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在时．．．．．在A中形成的的电势的代数和，所以，当我们以球心O点为对象，有
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UQO = k
qABd + k
R + k
Q = 0
ARBQB应指B球壳上的净电荷量，故 QB = 0 所以 QA = －
RAdq
☆学员讨论：A壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对A壳表面上的某点去列？（答：不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）
基于刚才的讨论，求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体，球心电势即为所求）——
UqB = k
Ad + k
Q
RB〖答〗（1）QRA = －Adq ；（2）UB = k
qAd(1－
RR) 。
B【物理情形2】图7-11中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是Δabc的中心，点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为UA和UB 。试问：若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少？
【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用。若用元段分割→叠加，也具有相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法。
每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着：①三棒对A点的电势贡献都相同（可设为U1）；②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U2）；③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U1）。
所以，取走ab前 3U1 = UA
2U2 + U1 = UB
取走ab后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以
UA′= 2U1
UB′= U1 + U2
【答案】UA′= 2U113A ；UB′= 6UA + 2UB 。
〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且电势分别为U1 、U2 、U3和U4 ，则盒子中心点O的电势U等于多少？
〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性，但电量各不相同，因此对O点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法——
我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中，
第1页 共4页 每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U1 + U2 + U3 + U4），新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为
U′= U1 + U2 + U3 + U4
最后回到原来的单层盒子，中心电势必为 U = 14 U′
〖答〗U = 14（U1 + U2 + U3 + U4）。
☆学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”？（答：不行，因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等。）
〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R ，CD为通过半球顶点C和球心O
的轴线，如图7-12所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为UP ，试求Q
点的电势UQ 。
〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图7-12所示。
从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变。
而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面。
考查P点，UP = k
2qR + U半球面
其中 U半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即 U半球面= －UQ 以上的两个关系已经足以解题了。 〖答〗U2qQ = k
R － UP 。
【物理情形3】如图7-13所示，A、B两点相距2L ，圆弧OC?D是以B为圆心、L为半径的半圆。
A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为－q的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从O点沿OC?D移到D点，电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？
【模型分析】电势叠加和关系WAB = q（UA － UB）= qUAB的基本应用。
Uq?qO = kL + k
L = 0 Uq + k?q2kqD = k
3LL = －
3L
U∞ = 0
再用功与电势的关系即可。
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【答案】（1）
2kq3L；（2）
2kq3L。
【相关应用】在不计重力空间，有A、B两个带电小球，电量分别为q1和q2 ，质量分别为m1
和m2 ，被固定在相距L的两点。试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？
【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论?（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。）
【答】（1）k
q1q2m2q2q2r；（2）Emk1 =
1m1?mk
q12r ，Ek2 =
m1?mk
q1）k
q1q22r；（3r 。
〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q1 、q2和q3 ，两两相距为r12 、r23和r31 ，则这个点电荷系统的静电势能是多少？
〖解〗略。 〖答〗k（
q1q2+
q2q3r+
q3q112r）。
23r31〖反馈应用〗如图7-14所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。
〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v ，1球和3球的速度为v′，则
动量关系 mv + 2m v′= 0 能量关系 3k
q2q2121L = 2 k
q2L + k
2L + 2mv + 22mv?2
解以上两式即可的v值。 〖答〗v = q
2k3mL 。 三、电场中的导体和电介质
【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A和B，面积都是S ，间距为d（d远小于金属板的线度），已知A板带净电量+Q1 ，B板带尽电量+Q2 ，且Q2＜Q1 ，试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。
【模型分析】由于静电感应，A、B两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄，但内部合场强为零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大，因
第1页 共4页 此，可以应用无限大平板的场强定式。
为方便解题，做图7-15，忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的，设四个面的电荷面密度分别为σ1 、σ2 、σ3和σ4 ，显然
（σ1 + σ2）S = Q1 （σ3 + σ4）S = Q2
A板内部空间场强为零，有 2πk（σ1 ? σ2 ? σ3 ? σ4）= 0 A板内部空间场强为零，有 2πk（σ1 + σ2 + σ3 ? σ4）= 0 解以上四式易得 σQ1 = σ4 =
1?Q22S σ2 = ?σ3 =
Q1?Q22S
有了四个面的电荷密度，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空间的场强就好求了〔如EⅡ =2πk（σ1 + σ2 ? σ3 ? σ
4
）= 2πk
Q1?Q2S〕。
最后，UAB = EⅡd
【答案】（1）A板外侧电量Q1?Q2Q1?Q2Q22、A板内侧电量
2，B板内侧电量?
Q1?2、B板外侧
电量Q1?Q2；（2）A板外侧空间场强2πkQ1?Q22S，方向垂直A板向外，A、B板之间空间场强2π
k
Q1?Q2垂直指向B，B板外侧空间场强2πk
Q1?Q2S，方向由AS，方向垂直B板向外；（3）A、B
两板的电势差为2πkdQ1?Q2S，A板电势高。
〖学员思考〗如果两板带等量异号的净电荷，两板的外侧空间场强等于多少？（答：为零。） 〖学员讨论〗（原模型中）作为一个电容器，它的“电量”是多少（答：
Q1?Q22）？如果在板
间充满相对介电常数为εr的电介质，是否会影响四个面的电荷分布（答：不会）？是否会影响三个空间的场强（答：只会影响Ⅱ空间的场强）？
〖学员讨论〗（原模型中）我们是否可以求出A、B两板之间的静电力？〔答：可以；以A为对象，外侧受力Q1?Q2〃EⅠ（方向相左），内侧受力Q1?Q222〃EⅡ22（方向向右），它们合成即可，结
论为F =
2k?SQ1Q2 ，排斥力。〕
【模型变换】如图7-16所示，一平行板电容器，极板面积为S ，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为εr的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和?Q的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）
介质表面的极化电荷。
【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为Q1 ，介质部分电量为Q2 ，
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