阜阳三中2011级物理竞赛资料5 使用时间：2013年4月25日 班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价：
显然有
Q1 + Q2 = Q
两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，必有 U1 = U2 即
Q1 =
Q2 ，即
Q1 =
Q2C1C2S/2?
r?S/24?kd4?kd解以上两式即可得Q1和Q2 。 场强可以根据E =
Ud关系求解，比较常规（上下部分的场强相等）。
上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？从公式的角度看，E = 2πkσ（单面平板），当k 、σ同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度
看，k的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中．．．．形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E2 ，所以
EQ2 = 4πk（σ ? σ′）= 4πk（
2 ? Q?S/2S/2）
请注意：①这里的σ′和Q′是指极化电荷的面密度和总量；② E = 4πkσ的关系是由两个带电面叠加的合效果。
【答案】（1）真空部分的电量为11??Q ，介质部分的电量为
?rQ ；（2）整个空间的场强均
r1??r为
8?kQ(1?? ；（3）
?r?1Q 。
r)S?r?1〖思考应用〗一个带电量为Q的金属小球，周围充满相对介电常数为εr的均匀电介质，试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。
〖解〗略。 〖答〗Q′=
?r?1?Q 。
r四、电容器的相关计算
【物理情形1】由许多个电容为C的电容器组成一个如图7-17所示的多级网络，试问：（1）在最后一级的右边并联一个多大电容C′，可使整个网络的A、B两端电容也为C′？（2）不接C′，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的总电容是多少？
【模型分析】这是一个练习电容电路简化基本事例。
第（1）问中，未给出具体级数，一般结论应适用特殊情形：令级数为1 ，于是
11C?C? +
C =
1C? 解C′即可。
第（2）问中，因为“无限”，所以“无限加一级后仍为无限”，不难得出方程
第1页 共4页 111C?C +
总C =
C 总【答案】（1）
5?12C ；（2）
5?12C 。
【相关模型】在图7-18所示的电路中，已知C1 = C2 = C3 = C9 = 1μF ，C4 = C5 = C6 = C7 = 2μF ，C8 = C10
= 3μF ，试求A、B之间的等效电容。
【解说】对于既非串联也非并联的电路，需要用到一种“Δ→Y型变换”，参见图7-19，根据三个端点之间的电容等效，容易得出定式——
Δ→Y型：Ca =
C1C2?C2C3?C3C1C 3 CCCb = 12?C2C3?C3C1 C1 CCc = 1C2?C2C3?C3C1
C2Y→Δ型：CC1 = aCcC a?Cb?Cc CC2 = aCbC a?Cb?Cc CC3 =
bCcCa?Cb?C
c有了这样的定式后，我们便可以进行如图7-20所示的四步电路简化（为了方便，电容
不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）——
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阜阳三中2011级物理竞赛资料5 使用时间：2013年4月25日 班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价：
【答】约2.23μF 。
【物理情形2】如图7-21所示的电路中，三个电容器完全相同，电源电动势ε1 = 3.0V ，ε2 = 4.5V，开关K1和K2接通前电容器均未带电，试求K1和K2接通后三个电容器的电压Uao 、Ubo和Uco各为多少。
【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题，解题的关键是要
抓与o相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零。
电量关系：
UaoaoC+
UaoC+
UC= 0
电势关系：ε1 = Uao + Uob = Uao ? Ubo ε2 = Ubo + Uoc = Ubo ? Uco
解以上三式即可。
【答】Uao = 3.5V ，Ubo = 0.5V ，Uco = ?4.0V 。
【伸展应用】如图7-22所示，由n个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C ，另一个的电容为3C 。以a、b为网络的输入端，a′、b′为输出端，今在a、b间加一个恒定电压U ，而在a′b′间接一个电容为C的电容器，试求：（1）从第k单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？
【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例。
（1）类似“物理情形1”的计算，可得 C总 = Ck = C
所以，从输入端．．．算起．．
，第k单元后的 第1页 共4页 电压的经验公式为 UUk =
3k?1
再算能量储存就不难了。
（2）断开前，可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图7-23中的左图所示。这时，C1的右板和C2的左板（或C2的下板和C3的右板）形成“孤岛”。此后，电容器的相互充电过程（C3类比为“电源”）满足——
电量关系：Q1′= Q3′ QQ2′+ Q3′= 3
???电势关系：
Q31Q23C+
Q3C =
2C
2从以上三式解得 Q= Q1′= Q3′7 ，Q4Q2′=
21 ，这样系统的储能就可以用
1Q2C得出了。
2【答】（1）Ek =
CUCU22?32k?1；（2）63 。
〖学员思考〗图7-23展示的过程中，始末状态的电容器储能是否一样？（答：不一样；在相互充电的过程中，导线消耗的焦耳热已不可忽略。）
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