2008届高考数学概念方法题型易误点技巧总结(七)直线和圆

已知点A（—2，4），B（4，2），且直线l:y?kx?2与线段AB恒相交，则k的取值范围是__________（答：?－?，－3?U?1，＋??） （2）线性规划问题中的有关概念：

①满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。

②关于变量x,y的解析式叫目标函数，关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数； ③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题； ④满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域； ⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解； （3）求解线性规划问题的步骤是什么？ ①根据实际问题的约束条件列出不等式； ②作出可行域，写出目标函数；

③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如

（1）线性目标函数z=2x－y在线性约束条件|x|?1下，取最小值的最优解是____（答：（－1，1））； |y|?12（2）点（－２，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是_________（答：t?）； 3（3）不等式|x?1|?|y?1|?2表示的平面区域的面积是_________（答：8）； ???x?y?2?0（4）如果实数x,y满足?x?y?4?0，则z?|x?2y?4|的最大值_________（答：21） ??2x?y?5?0（4）在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。

10、圆的方程：

⑴圆的标准方程：?x?a???y?b??r2。

⑵圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2＋E2－4F?0)，特别提醒：只有当D2＋E2－4F?0时，方程x2?y2?Dx?Ey?F?0才表示圆心为(?22 DE1,?)，半径为D2?E2?4F的圆（二元二222次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是什么？ （A?C?0,且B?0且

D2?E2?4AF?0））；

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⑶圆的参数方程：x?a?rcos?（?为参数），其中圆心为(a,b)，半径为r。圆的参数方程的

y?b?rsin?主要应用是三角换元：x2?y2?r2?x?rcos?,y?rsin?；

x2?y2?t?x?rcos?,y?rsin?(0?r?t)。

?⑷A?x1,y1?,B?x2,y2?为直径端点的圆方程?x?x1??x?x2???y?y1??y?y2??0

如（1）圆C与圆(x?1)2?y2?1关于直线y??x对称，则圆C的方程为____________（答：x2?(y?1)2?1）； （2）圆心在直线2x?y?3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：(x?3)2?(y?3)2?9或(x?1)2?(y?1)2?1）； （3）已知P(?1,3)是圆x?rcos?（?为参数，0???2?)上的点，则圆的普通方程为________，y?rsin?2?P点对应的?值为_______，过P点的圆的切线方程是___________（答：x2?y2＝4；；3x?3y?4?0）； ?（4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是____（答：[0，2]）； （5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：k?（6）若M?{(x,y)|x?3cos?（?为参数，0????)}，N??(x,y)|y?x?b?，若M?N??，y?3sin?则b的取值范围是_________（答：－3,32??） 11、点与圆的位置关系：已知点M?x0,y0?及圆C：?x-a???y?b??r2?r?0?， （1）点M在圆C外?CM?r??x0?a???y0?b??r2； （2）点M在圆C内?CM?r??x0?a???y0?b??r2； （3）点M在圆C上?CM?r??x0?a???y0?b??r2。如

点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答：|a|?2222222222?1）； 2? 1） 13 12、直线与圆的位置关系：直线l:Ax?By?C?0和圆C：?x?a???y?b??r2?r?0?有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：

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（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：??0?相交；??0?相离；??0?相切；

（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则d?r?相交；d?r?相离；d?r?相切。

提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如 （1）圆2x2?2y2?1与直线xsin??y?1?0(??R,??相离）； （2）若直线ax?by?3?0与圆x2?y2?4x?1?0切于点P(?1,2)，则ab的值____（答：2）； （3）直线x?2y?0被曲线x2?y2?6x?2y?15?0所截得的弦长等于 （答：45）； （4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）； （5）已知M(a,b)(ab?0)是圆O:x2?y2?r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l:ax?by?r2，则A．m//l，且l与圆相交 B．l?m，且l与圆相交 C．m//l，且l与圆?2?k?，k?z)的位置关系为____（答：相离 D．l?m，且l与圆相离（答：C）； （6）已知圆C：x2?(y?1)2?5，直线L：mx?y?1?m?0。①求证：对m?R，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若AB?17，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②60o或120o ③最长：y?1，最短： x?1） 13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为

O1，O2，半径分别为r1,r2，则（1）当|O1O2??r1?r2时，两圆外离；（2）当|O1O2??r1?r2时，两圆

外切；（3）当r1?r2<|O1O2??r1?r2时，两圆相交；（4）当|O1O2???r1?r2|时，两圆内切；（5）当

0?|O1O2???r1?r2|时，两圆内含。如

x2y2双曲线2?2?1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线ab段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为 （答：内切） 14、圆的切线与弦长：

(1)切线：

①过圆x2?y2?R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：xx0?yy0?R2，过圆(x?a)2?(y?b)2?R2上

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一点P(x0,y0)圆的切线方程是：(x?a)(x0?a)?(y?a)(y0?a)?R2，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；

②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；

③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；

③切线长：过圆x2?y2?Dx?Ey?F?0（(x?a)2?(y?b)2?R2）外一点P(x0,y0)所引圆的切线的长为x02?y02?Dx0?Ey0?F（(x0?a)2?(y0?b)2?R2）；如

设A为圆(x?1)2?y2?1上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________（答：(x?1)2?y2?2）； （2）弦长问题：

1①圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长一半a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：

21r2?d2?(a)2；

2②过两圆C1:f(x,y)?0、C2:g(x,y)?0交点的圆(公共弦)系为f(x,y)??g(x,y)?0，当???1时，方程f(x,y)??g(x,y)?0为两圆公共弦所在直线方程.。

15.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!

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