第六节 函数与方程及最值问题
【热点聚焦】
函数与方程及最值问题一直是高考的重点内容，在历届的高考试题中均占有一定的比重。特别是函数与方程思想，更是思考问题与解决问题常用的方法，应重点掌握。
【基础知识】
一．函数最大（小）值定义
1．最大值： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）． 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
○
1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○
2 利用图象求函数的最大（小）值 ○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b). 二．函数与方程
函数零点的概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数
y?f(x)(x?D)的零点．
函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图
象与x轴交点的横坐标．即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点．
函数零点的求法：求函数y?f(x)的零点：○
1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 三．二分法及步骤
对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度?，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下： 1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)?0，给定精度?； 2．求区间(a，b)的中点x1；
3．计算f(x1)：○1 若f(x1)=0，则x1就是函数的零点； ○2 若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0?(a,x1)）； ○3 若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1（此时零点x0?(x1,b)）； 4．判断是否达到精度?；
即若|a?b|??，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4． 四．函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使f(x)?0的实数；从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点
的横坐标；若函数f(x)的图象在x?x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数
f(x)的图象在x?x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．
用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f(a)·f(b)?0表明用二分法求函数的近似零点都是
指变号零点．
【课前训练】
1．（2003北京春）函数f（x）=
11?x(1?x)的最大值是（ ）
A.
45 B.
5
C.
34 4 D.
43 2．函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在［1，2］中的最大值比最小值大
a2，则a的值为（ ） A．
12 B．32 C．12或32 D．2或23
3．（2005年福建卷）f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)?0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）
A．5 B．4 C．3
D．2
4．设函数f?x?在区间[a,b]上连续，若满足______________，若方程f?x??0在区间[a,b]上一定有实根。
5．（1999全国）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_____.
【试题精析】
【例1】（2002全国）设a为实数，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R. （1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值.
【评述】：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为x∈R，f（0）=|a|+1≠0，由此排除f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f（x）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想.
【例2】（2000春季北京、安徽文）已知二次函数f（x）＝（lga）x2＋2x＋4lga的最大值为3，求a的值.
【评述】本小题主要考查二次函数最大值和最小值的概念以及对于配方法、对数方程、二次方程的解法的运用能力.
【例3】一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价（元） 住房率（%） 160 55 140 65 120 75 100 85 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
【例4】（2005年上海卷）对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)·g(x) 当x∈Df且x∈Dg 规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈Df且x?Dg g(x) 当x?Df且x∈Dg
(1) 若函数f(x)=－2x+3,x≥1; g(x)=x－2,x∈R,写出函数h(x)的解析式; (2) 求问题(1)中函数h(x)的最大值;
(3) 若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α
的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明.
【例5】（2005年广东卷）设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，
f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)?f(3)?0．
（Ⅰ）试判断函数y?f(x)的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．
【例6】某电器公司生产A种瑾的家庭电器。1996年平均每台电脑生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价。1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低。2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率。求 （1）2000年每台电脑的生产成本；
（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）。
【点评】这是一个降低成本提高效率的问题。注意：这里“以纯利润20%标定出厂价”指成本的20%。成本+利润＝出厂价；利润＝成本×利润率。在第（2）问中所要解的方程
5000(1?x)4?3200(0?x?1)要求用二分法来解，主要目的地是熟悉二分法的解题步骤，虽然
比较繁杂，但是能让学生体会到“逐步逼近”的数学思想。
【针对训练】
1．求方程f?x??0在[0，1]内的近似根，用二分法计算到x10?0.445达到精度要求。那么所取
误差限ξ是（ ）
A．0.05 B．0.005 C．0．005 D．0.00005 2．若函数f?x?唯一的零点在区间（1，3）、（1，4）、（1，5）内，那么下列命题中错误的是（ ）
A．函数f?x?在（1，2）或?2,3?内有零点 B．函数f?x?在（3，5）内无零点
C．函数f?x?在（2，5）内有零点 D．函数f?x?在（2，4）内不一定有零点.
3．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，那么下列命
题中正确的是
（A）函数f(x)在区间（0，1）内有零点 （B）函数f(x)在区间（0，1）或（1，2）内有零点 （C）函数f(x)在区间[2，16)内无零点 （D）函数f(x)在区间（1，16）内无零点
4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）
5．（2006年湖北卷）关于x的方程?x2?1?2?x2?1?k?0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是 （B）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6．用二分法求方程x3?2x?5?0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0?2.5，那么下一个有根区间是______________。
?2x?3,x7．（1998上海）函数y＝??0?x?3,0?x?1的最大值是 .
???x?5,x?18．函数f(x)?lnx?x?2的零点个数为 . 9．（2007年山东日照试题）A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全.核电站距市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数??0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月. （Ⅰ）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；
（Ⅱ）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小.
10．我国从1998年到2002年，每年的国内生产总值如下表： 年份 1998 1999 2000 2001 2002 生产总值（亿元） 78345 82067 89442 95933 102398 （Ⅰ）根据已知数据，估计我国2003年的国内生产总值； （Ⅱ）据资料可知我国2003年的国内生产总值为116694亿元，你的预测是否准确，若误差较大，能修正你所构造的模型吗？
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