(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠DBC=2∠ABC=75°,DC∥AB,∠A=∠C. ∴∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°, ∴∠C=∠A=30°,
∵EF垂直平分线段AB,∴AF=FB, ∴∠A=∠FBA=30°, ∴∠DBF=∠ABD-∠FBE=45°.
1
20.(8分)(2018浙江湖州)如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.
(1)求证:AE=ED;
(2)若AB=10,∠CBD=36°,求?????的长. (1)证明∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,
即OC⊥AD,∴AE=ED; (2)解∵OC⊥AD,∴?????=?????,
∴∠ABC=∠CBD=36°,
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°, ∴?????的长=72π×5180
=2π.
21.(10分)(2018湖北宜昌)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC. (1)求证:四边形ABFC是菱形;
(2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积.
(1)证明∵AB是直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=CE,
∵AE=EF,∴四边形ABFC是平行四边形, ∵AC=AB,∴四边形ABFC是菱形.
(2)解设CD=x.连接BD.
∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°, ∴AB2-AD2=CB2-CD2,
∴(7+x)2-72=42-x2,解得x=1或-8(舍弃),∴AC=8,BD=√82-72=√15, ∴S菱形ABFC=8√15.
22.(10分)(2018贵州铜仁)如图,在三角形ABC中,AB=6,AC=BC=5,以BC为直径作☉O交AB于点D,交AC于点G,直线DF是☉O的切线,D为切点,交CB的延长线于点E. (1)求证:DF⊥AC; (2)求tan∠E的值.
(1)证明如图,连接OD,CD,∵BC是☉O的直径,
∴∠BDC=90°, ∴CD⊥AB, ∵AC=BC, ∴AD=BD, ∵OB=OC,
∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC, ∵DF为☉O的切线,∴OD⊥DF,∴DF⊥AC;
(2)解如图,连接BG,
∵BC是☉O的直径,∴∠BGC=90°, ∵∠EFC=90°=∠BGC,∴EF∥BG, ∴∠CBG=∠E,
Rt△BDC中,∵BD=3,BC=5,
∴CD=4,S△ABC=2AB·CD=2AC·BG,6×4=5BG,BG=5,
由勾股定理得CG=√52-()
524
2
1124
=, 57
7
????∴tan∠CBG=tan∠E=????=
75245
=24.
23.(10分)(2018江苏淮安)如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,切点为A,BC交☉O于点D,点E是AC的中点.
(1)试判断直线DE与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若☉O的半径为2,∠B=50°,AC=4.8,求图中阴影部分的面积. 解(1)直线DE与☉O相切.理由如下:
连接OE,OD,如图,∵AC是☉O的切线,
∴AB⊥AC,∴∠OAC=90°,
∵点E是AC的中点,O点为AB的中点, ∴OE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3, ∵OB=OD,∴∠B=∠3,∴∠1=∠2,
????=????,
在△AOE和△DOE中{∠1=∠2,
????=????,
∴△AOE≌△DOE,∴∠ODE=∠OAE=90°, ∴OD⊥DE,∴DE为☉O的切线;
(2)∵点E是AC的中点,∴AE=2AC=2.4,
1
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°, ∴图中阴影部分的面积=2·2×2×2.4-1
100·π·22
360
2
=4.8-9π.
10
24.(12分)(2018山东济宁)如图,已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)经过点A(3,0),B(-1,0),C(0,-3).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标;
(3)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
9??+3??+??=0,??=1,
解(1)把A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入抛物线解析式得{??-??+??=0,解得{??=-2,
??=-3,??=-3,
2
则该抛物线解析式为y=x-2x-3;
(2)设直线BC解析式为y=kx-3, 把B(-1,0)代入得-k-3=0,即k=-3,
∴直线BC解析式为y=-3x-3, ∴直线AM解析式为y=3x+n,
把A(3,0)代入得1+n=0,即n=-1,
1
??=-3??-3,??=-5,1
1∴直线AM解析式为y=3x-1,联立得{解得{6 ??=3??-1,??=-.
5
3
则M-5,-5;
(3)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,分两种情况考虑: 设Q(x,0),P(m,m-2m-3),
第一种:当四边形BCQP为平行四边形时,由B(-1,0),C(0,-3),根据平移规律得-1+x=0+m,0+0=-3+m-2m-3,解得m=1±√7,x=2±√7, 当m=1+√7时,m-2m-3=8+2√7-2-2√7-3=3,即P(1+√7,2); 当m=1-√7时,m-2m-3=8-2√7-2+2√7-3=3,即P(1-√7,2);
第二种:当四边形BCPQ为平行四边形时,由B(-1,0),C(0,-3),根据平移规律得:-1+m=0+x,0+m-2m-3=-3+0,
解得m=0或2,
当m=0时,P(0,-3)(舍去);当m=2时,P(2,-3), 综上,存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形, 点P的坐标为(1+√7,2)或(1-√7,2)或(2,-3).
2
22
2
2
36
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