S4＝( ) a29．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则A．2 15C. 2B．4 D.17 2解析：在等比数列{an}中，q＝2≠1， 设首项为a1≠0，则S4＝又a2＝a1q＝2a1， S415a115故＝＝. a22a12答案：C 10．下列不等式中一定成立的是( ) 1??A．lg?x2＋?>lg x(x>0) 4??B．sin x＋1≥2(x≠kπ，k∈Z) sin x1－q＝15a1， C．x2＋1≥2|x|(x∈R) 1D.>1(x∈R) x2＋11解析：A项中，因为x＋≥x， 421??所以lg?x2＋?≥lg x； 4??B项中sin x＋1≥2只有在sin x>0时才成立； sin x1≤1. x2＋1C项中由不等式a2＋b2≥2ab可知成立；D项中因为x2＋1≥1，所以0<答案：C 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上) 11．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP，用反证法证明时的假设为________． 5 / 12 解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP. 答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP 12. 22＋＝2 32， 333＋＝3 83， 84＋4＝4 154……若 15a6＋＝6 ba(a，b均为实数)，猜想，a＝________，b＝________. b解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 a6＋中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35. b答案：6 35 13．观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …… 照此规律，第n个等式可为____________． 解析：观察等号左边可知，左边的项数依次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数也增加1，依次为1,2,3，…，n，指数都是2，符号正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示；等号的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n＋1·(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·22，所以第n个式子可为：12－22＋32－42＋…＋. 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·14. 2已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆x2y2＋＝1类似的性质为________． a2b2 6 / 12 解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＝1类似的性质为：过椭圆x2y2＋a2b2x2y2x0xy0y＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1. a2b2a2b2x2y2x0xy0y答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1 a2b2a2b215．若定义在区间D上的函数f(x)对于 D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足1n?x1＋x2＋…＋xn??，称函数f(x)为D上的凸函数；[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f?n??现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________． 解析：因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数(小前提)， 1A＋B＋C所以(sin A＋sin B＋sin C)≤sin(结论)， 33即sin A＋sin B＋sin C≤3sinπ33＝. 3233. 2因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是33答案： 2三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)(20xx·高考全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝31，求λ. 32(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 1故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 1－λ由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan. 7 / 12 an＋1λ＝. anλ－1由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以因此{an}是首项为于是an＝1λ，公比为的等比数列， 1－λλ－11?λ?n－1??. 1－λ?λ－1??λ?n?. (2)解：由(1)得Sn＝1－?λ－1??由S5＝31?λ?531?＝， 得1－?λ－132??32?λ?51?＝. 即??λ－1?32解得λ＝－1. 17．(12分)已知函数f(x)＝xx＋2(x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理求函数fn(x)的解析式． 解析：依题意得，f1(x)＝xx＋2xf2(x)＝＝＝x3x＋4＋2x＋2x3x＋4xf3(x)＝＝x7x＋8＋23x＋4＝x，…，由此归纳可得fn(x)＝x(x＞0)． x， x＋2x， 18．(12分)设函数f(x)＝lg |x|，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)． 证明：0＜ab＜1. 证明：f(x)＝lg |x| ?＝?? 8 / 12
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