必修4第二章 平面向量

必修4第一章 平面向量

课后练习与提高1

1．下列命题中，正确的是( )

A．a，b是两个单位向量，则a与b相等

B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 C．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同 D．共线的单位向量必是相等向量

解析：选B.若a与b中有一个是零向量，

则a与b是平行向量．

2．若四边形ABCD是矩形，则下列命题中不正确的是( ) A.AB→与CD→

共线 B.AC→与BD→

相等 C.AD→与CB→

模相等，方向相反 D.AB→与CD→

模相等

解析：选B.∵四边形ABCD是矩形，∴AB→＝DC→，故A，D正确；AC＝BD但AC→与BD→

的方向不同，故B不正确；

AD＝CB且AD∥CB，AD→与CB→

的方向相反，故C正确．

3．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A．a0＝b0 B．a0＝－b0 C．|a0|＋|b0|＝2 D．a0∥b0 解析：选C.因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1， 所以|a0|＋|b0|＝2.故选C.

4．设四边形ABCD中，有AB→＝DC→，且|AD→|＝|AB→

|，则这个四边形是( ) A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形

解析：选D.由AB→＝DC→

可知四边形ABCD为平行四边形， 又|AD→|＝|AB→

|，所以四边形ABCD为菱形．

5．如图，在四边形ABCD中，若AB→＝DC→

，则图中相等的向量是( ) A.AD→与CB→ B.OB→与OD→ C.AC→与BD→ D.AO→与OC→

解析：选D.∵AB→＝DC→

，∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AC、BD互相平分，∴AO→＝OC→

.

6．如图，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则|OA→

|＝________.

解析：正方形的对角线长为22， ∴|OA→

|＝2. 答案：2

7．在四边形ABCD中，AB→∥CD→且|AB→|≠|CD→

|，则四边形ABCD的形状是________．

解析：∵AB→∥CD→且|AB→|≠|CD→

|，∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形． 答案：梯形

8．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若|AB→|＝3，则向量EC→

的模等于________．

解析：在平行四边形ABCD和ABDE中， ∵AB→＝ED→，AB→＝DC→，∴ED→＝DC→

，∴E，D，C三点共线， |EC→|＝|ED→|＋|DC→|＝2|AB→

|＝6. 答案：6

9．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在下图所标出的向量中：(1)试找出与FE→

大小相等，方向相反的向量；

(2)OA→与FE→相等吗？(3)OA→与CB→

相等吗？

解：(1)由正六边形的性质得：FE→∥CB→∥OA→∥DO→，故与FE→

大小相等，方向相反的向量有EF→、CB→、OA→、DO→；

(2)OA→与FE→不相等，它们互为相反向量，即OA→＝－FE→； (3)OA→＝CB→.

1

课后练习与提高2

1. 下列各式正确的是（ ）

rbr A．若a，同向，则|a+b|=|a|+|b| ra?r B．b与|a|+|b|表示的意义是相同的 rr C．若a，b不共线，则|a+b|＞|a|+|b|

rD．a?ra?br永远成立

答案：A

解析：当向量a与b不共线时， |a+b|<|a|+|b|；

rr当a与b同向时， |a+b|=|a|+|b|，a?b表示向量，而|a|+|b|数量。 uuurOBuuur?OCuuur?CAuur?uuBOur2．AO?等于（ ）

rA．

B． 0 C．

D．

答案：B

解析：uuuAOr?OBuuur?OCuuur?CAuur?uuBOur=(uAOuur?OCuuur?CAuur)?(OBuuuu?ruBOuur)?r0?r0?r0

3．下列命题

rrrrrr ①如果a，b的方向相同或相反，那么a?b的方向必与a，b之一的方向相同。r ②△ABC中，必有0

r ③若

0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点。

rr ④若a，b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等。

其中真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B

rbrrrrrrr解析：①如果a，的方向相同则a?b的方向必与a，b相同。如果a，b的方向相反，若

|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，若|a|=|b|，则

abrr+=0，它的方向任意。②正确。③若0，则A,B,C可能三点共线。④错误

rrr4．已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则向量

等

于（ ）

r?rb?rcrrrrr?rcrrrA．a B．a?b?c C．a?b D．a?b?c

答案：B

uuur?OCuuur?CDuuur?rc?uBAur?rc?OAuur?OBuuur?ra?br?r解析：ODc

uuurruuurruuurr5．在四边形ABCD中，设AB?a,AD?b,BC?c，则

等于（ ）

rrrrrr A． a?b?c B．b?(a?c) ra?rb?rcrrrC． D．b?a?c

答案：A

uuur?uACuur?uADuur?(uABuur?uBCuur)?uADuurrrr解析：DC=a?b?c rr6．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（ ） rrrr A．a与b的长度必相等 B．a∥b

2

rbrrrC．a与一定不相等 D．a是b的相反向量

答案：C

解析：若ra与br为r0 uuur7．AC可以写成：①

；②；③；④，其中正确的是

（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

答案：D

解析：由向量的加法及减法定义可知。

uuurruuurrrruuur8.如图所示，在

ABCD中，已知AB?a,DB?b，用a与b表示向量AD、

。

uADuurra?rbuuurr答案：=,AC=-b

uuuruuuADr?uuDBuruuuruuuruuurrr解析; AB?∴AD?AB?DB=a?b

uuACur?uuuADr?uuABurra?rbrr=+a=-b

[

课后练习与提高3

1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）

uA.er1?(0,0),uerurur2?(1,?2) B . e1?(5,7),e2?(?1,2) ururuer?(2,?3),uer13 C. e1?(3,5),e12?(,?)2?(6,10) D 24 答案：B

解析：不共线的向量才能作为一组基底。

rrrr2. .已知a=(2，3），b=(－1，2），则2a－3b等于

A.（5，1） B.（5，－3） C.（7，0）

D.（－7，0）

答案：C

2ra?3r解析：b?2(2,3)?3(?1,2)?(4?3,6?6)?(7,0) rrrr3.已知a=（－1，3），b =（x,－1），且a∥b,则x等于

1A.3

B.3

1C.－3

D.－3

答案：B

rrrr(?1)?(?1）?3x?0,?x?1解析：a=（－1，3），b =（x,－1），且a∥b∴

3 4.下列各组向量是相互平行的是 A.a=(－2，3），b=(3，5） B.a=（3，2），b=（2，3） C.a=（2，－1），b=（1，4） D.a=（－2，1），b=(4，－2） 答案：D

解析：利用向量共线的坐标表示

x1y2?x2y1?0

5.已知A（x，2），B（5，y－2)，若AB=（4，6），则x、y的值为 A.x=－1，y=0 B.x=1，y=10 C.x=1，y=－10 D.x=－1，y=－10 答案：B

??x?1解析：AB=（5-x,y-2-2）=(5-x,y-4)=(4,6),∴?y?10 3

16.已知M（3，－2），N（－5，－1），MP=2MN，则P点的坐标为

3B.（－1，－2）

rrxx?y1y2?0∴3t-3=0, ∴t?1

解析：a?b ? 12rrrr2．已知a=(2,3), b=(-4,7),则a在b方向上的投影为 （ ）

A.（－8，1）

3C.（1，2）

D.（8，－1）

答案：B

1113解析：设P（x,y）,MP=(x-3,y+2)= 2MN=2(-5-3,-1+2)=(-4, 2)∴x=-1,y=－2

r1rrrr7..若a－2b=（1，2），a+b=(4，－10），则a等于

A.（－2，－2） B.（2，2） C.（－2，2）

D.（2，－2）

答案：D

rr1rrrr解析：设a=（x,y),∵a－2b=（1，2），a+b=(4，－10）∴a=（2,-2)

ar2r28. 已知?1?2rrrrr，b，(a－b)·a= 0，则a与b的夹角是 （ A．60? B．90? C．45? D．30?

答案：C

rrrr2r解析: (a－b)·a=a-arbcosra,rb=1-1×2cosra,rrrbcosa,b?2=0,∴

2 又∵0??cosra,rb?180?ra,r，∴

b?45?

课后练习与提高4

1.已知平面向量a?(3,1),b?(t,?3), 且a?b, 则t?

（ ）

A．－1 B．1 sC． 3 D．－3

答案：B

）

4

1365

A．13．5 C．5

D．65

答案：C

ra?rbrrr?8?解析：a在b方向上的投影为b?2165=

16?49?5 rarrrrr3．给定两个向量=(3,4), b=(2,-1)且(a+xb)⊥(a-b),则x等于 （ 232323 A．．2

C．3

D．4

答案：C

rarrbr解析：+xb=（3+2x,4-x）, a-=(1,5)

rrrrrrr?r23(a+xb)⊥(a-b)∴(a+xb)?(ab)=0即(3+2x)+5(4-x)=0∴x=3

4．已知向量OA?(a,a?1)的模为5，则实数a的值是 （ ）A．－１ B．2

C．－１或2

D．１或－2

答案：C

解析：

OAuur?a2?(a?1)2?5∴a=2或a=-1

rbrrr5．已知a=(4,3),向量是垂直a的单位向量，则b等于

（ ）

）