2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（5分）已知
=2+i，则复数z=（ ）
C．3+i D．3﹣i
＜1的解集为（ ）
A．﹣1+3i B．1﹣3i 3．（5分）不等式
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＜0} 4．（5分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，
则该双曲线的离心率为（ ） A．
B．2
C．
D．
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种 6．（5分）设、、是单位向量，且（ ） A．﹣2 B．
﹣2 C．﹣1 D．1﹣
，则?的最小值为
7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
，0）中心对称，那么|φ|
9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ） A．1
B．2
C．﹣1 D．﹣2
10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为
，Q到α的距离为
，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数 C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数
12．（5分）已知椭圆C：交C于点B，若A．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ． 14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8= ． 15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ． 16．（5分）若
，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ．
B．2
=3C．
+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF|=（ ）
，则| D．3
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．
18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=
，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M是侧棱SC的中点； （Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局． （I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．
20．（12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+（1）设bn=
，求数列{bn}的通项公式；
．
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点． （Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．
（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域； （2）证明：
．
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