2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解． 【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}， A∩B={4，7，9}∴?U（A∩B）={3，5，8}故选A． 也可用摩根律：?U（A∩B）=（?UA）∪（?UB） 故选A
2．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）已知A．﹣1+3i B．1﹣3i
=2+i，则复数z=（ ）
C．3+i D．3﹣i
【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z． 【解答】解：故选B
3．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）不等式
＜1的解集为（ ）
，∴
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＜0} 【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值． 【解答】解：∵∴|x+1|＜|x﹣1|， ∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1． ∴x＜0．
＜1，
∴不等式的解集为{x|x＜0}． 故选D
4．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与
抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ） A．
B．2
C．
D．
【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得． 【解答】解：由题双曲线
代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0， 因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0， 即故选择C．
5．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．
【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51?C31?C62=225种选法； （2）乙组中选出一名女生有C52?C61?C21=120种选法．故共有345种选法． 故选D
6．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）设、、是单位向量，且的最小值为（ ） A．﹣2 B．
﹣2 C．﹣1 D．1﹣
的一条渐近线方程为，
，
，则?
【分析】由题意可得
cos
值域求出它的最小值．
=，故要求的式子即 =1﹣
cos
﹣（）?+=1﹣
，再由余弦函数的
【解答】解：∵、、 是单位向量，∴cos=1﹣
cos?
=
，∴=0﹣（
，）?+1=1﹣
=．
﹣（）?+
≥．
故选项为D
7．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．
【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；
并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=|A1B|=
，
，|A1D|=，
由余弦定理，得cosθ==．
故选D．
8．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（中心对称，那么|φ|的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
，0）
【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=
代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值． 【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点∴故选A
9．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ） A．1
B．2
C．﹣1 D．﹣2
∴
由此易得
中心对称．
．
【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．
【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a）， 又∵∴x0+a=1 ∴y0=0，x0=﹣1 ∴a=2． 故选项为B
10．（5分）（2009?全国卷Ⅰ）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为小值为（ ）
，Q到α的距离为
，则P、Q两点之间距离的最
相关推荐：
loading