【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．
【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC， 则由正弦定理及余弦定理有：
，
化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2． 又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2． 解得b=4或b=0（舍）；
法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA． 又a2﹣c2=2b，b≠0．
所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC， 即sinB=4cosAsinC由正弦定理得故b=4ccosA②由①，②解得b=4．
18．（12分）（2009?全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=
，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
，
（I）证明：M是侧棱SC的中点； （Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，
设MN=x，
则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点； 法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求
出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断； 法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．
（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小． 【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E， 连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x， 在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴
．
在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2 解得x=1，从而
∴M为侧棱SC的中点M．
（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则
设M（0，a，b）（a＞0，b＞0）， 则
，
由题得
，
，
．
即
解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1） 所以M是侧棱SC的中点．
（I）证法三：设则又故即
，
，
，
解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点． （Ⅱ）由（Ⅰ）得又设则
且
， ，
，
分别是平面SAM、MAB的法向量，
，
即分别令即∴
且
得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，
，
二面角S﹣AM﹣B的大小．
19．（12分）（2009?全国卷Ⅰ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者
获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局． （I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．
【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望． 【解答】解：记Ai表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5） Bi表示第j局乙获胜，j=3、4
（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利， ∵前2局中，甲、乙各胜1局，
∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局， ∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5 由于各局比赛结果相互独立，
∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5） =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 =0.648
（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3
由于各局相互独立，得到ξ的分布列 P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52 P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48 ∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．
20．（12分）（2009?全国卷Ⅰ）在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+（1）设bn=
，求数列{bn}的通项公式；
．
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