中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题
题 号 得 分 评卷人 复查人 一 1～5 二 6～10 11 12 三 13 14 总 分 答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.
一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw27 1．设a?7?1，则代数式3a3?12a2?6a?12的值为( >. 2．对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对与之间的运算（a，b）（c，d）“△”为： u，v， 都有 x3．若x?1，y?0，且满足xy?xy，?x3y，则x?y的值为( >. y911 S四边形EADF?S1，S?BDF?S2，S?BCF?S3，S?CEF?S4，则S1S3与S2S4的大小关系为 ( >. 1 / 9 5．设S?1111，则4S的整数部分等于( >. ???L?132333993 6．若关于x的方程(x?2)(x2?4x?m)?0有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是 . 7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy01 8．如图，点A，B为直线y?x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y?1 <第8题） <第10题） 9．若 y?1?x?x?1的最大值为a，最小值为b，则a2?b2的值为 . 2 10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为 .NW2GT2oy01 三、解答题<共4题，每题20分，共80分） 11．已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程 x2?ax?b?0的两个根都大1，求a?b?c的值. 12．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点. 2 / 9 <第12题） A任13．如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点作直线交抛物线y?22x于P，Q两点. 3<1）求证：∠ABP=∠ABQ； <2）若点A的坐标为<0，1），且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的直线 PQ的函数解读式. 14．如图，△ABC中，?BAC?60?， <第13题） AB?2AC．点P在△ABC内，且 PA?3，PB?5，PC?2，求△ABC的面积． 中国教育学会中学数学教学专业 委员会 <第14题） “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答 案 一、选择题 1．A 解：因为a?7?1， a?1?7， a2?6?2a， 所以 3a3?12a2?6a?12?3（a6?2a）?12（6?2a）?6a?12??6a2?12a?60??（66?2a）?12a?60?24. 2．B ?ux?vy?u，?u(x?1)?vy?0，解：依定义的运算法则，有?即?对任何实数 vx?uy?v，v(x?1)?uy?0??u，v都成立. 由于实数u，v的任意性，得 3 / 9 3．C y?1解：由题设可知y?x，于是 x?yx3y?x4y?1， 所以 4y?1?1， 故y? 91 ，从而x?4．于是x?y?． 22 4．C 解：如图，连接DE，设S?DEF?S1?，则 S1?EFS4??，从而有S1?S3?S2S4．因为S1?S1?，所以S2BFS3S1S3?S2S4． <第4题） 5．A 解：当k?2，， 3 L ， 99时，因为 111?11??????， k3k?k2?1?2??k?1?kk?k?1??所以 1?S?1?1111?11?5??L??1?????. 23339932?299?100?4 于是有4?4S?5，故4S的整数部分等于4． 二、填空题 6．3＜m≤4 x2，则解：易知x?2是方程的一个根，设方程的另外两个根为x1，x1?x2?4，x1x2?m．显然x1?x2?4?2，所以 x1?x2?2， ??16?4m≥0， 即 ?x1?x2?2?4x1x2?2，??16?4m≥0，所以 16?4m?2， ??16?4m≥0， 解之得 3＜m≤4. 4 / 9 7． 解： 在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是 8．6 解：如图，设点C的坐标为，点D的坐标为,（a，b）（c，d）则点A的坐标为，点B的坐标为（a，a）（c，c）. 因为点C，D在双曲线y?1941?.NW2GT2oy01 3691上，所以ab?1，cd?1． x<第8题） 由于AC?a?b，BD?c?d， 又因为BD?2AC，于是 c?d?2a?b，c2?2cd?d2?（4a2?2ab?b2），4a2?b2）?（c2?d2）?8ab?2cd?6，所以 （ 即4OC2?OD2?6. 9． 3 211解：由1?x≥0，且x?≥0，得≤x≤1． 22y2?131131?2?x2?x???2?(x?)2?． 2222416由于 133<<1，所以当x=时，y2取到最大值1，故a=1． 244211或1时，y2取到最小值，故b=． 222当x=所以，a2?b2?10．84 3． 2解：如图，设BC＝a，AC＝b，则 a2?b2?352＝1225． ① 又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以 FEAF?，即CBAC12b?12，故 ?ab5 / 9 <第10题）
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