假设检验的基本问题

假设检验的基本问题

一、什么是假设检验 原假设H0是接受检验的假设。备择假设H1是当原假设被否定时另一种可成立的假设。原假设和备择假设相互对立，在任何情况下只能有一个成立。

二、假设检验中的小概率事件 假设检验的基本思想——根据小概率的原理，可以做出是否接受原假设的决定。

小概率原理：指发生概率很小的随机事件在一次试验中几乎不可能发生的。

E： 据报载，某商店为搞促销，对购买一定数额商品的顾客给予一次摸球中奖的机会，规定从装有红、绿两色球各１０个的暗箱中连续摸１０次（摸后放回），若10次都是摸得绿球，则中大奖。某人按规则去摸１０次，皆为绿球，商店认定此人作弊，拒付大奖，此人不服，最后引出官司。

所谓“小概率事件”，究竟多大概率为小概率事件？在一个问题中，通常是指定一个正数?,0???1，认为概率不超过?的事件是在一次试验中不会发生的事件，这个?称为显著性水平(Level of significance)。通常可选取?=0.01，0.05，0.10等。

下面我们用假设检验的语言来模拟商店的推断： 1 提出假设：H0：此人未作弊；H1：此人作弊。

0

2 构造统计量，并由样本算出其具体值：

统计量取为10次摸球中摸中绿球的个数N．由抽样结果算出N=10

3 求出在H0下统计量N的分布，构造对H0不利的小概率事件。

0

0

4 给定显著性水平?，确定临界值。

0

5 得出结论。

在这些步骤中，关键的技术问题是确定一个适当的用以检验假设的统计量，这个统计量至少应该满足在H0成立的情况下，其抽样分布易于计算（查到）。在统计量选定以后，便可构造出由该统计量T描述某个显著性水平下的一小概率事件{T?B?}，我们称使得这一小概率事件发生的样本空间的点的全体

0

V?{(X1,X2,?,Xn)??:T(X1,X2,?,Xn;?)?B?}

为H0的否定域或拒绝域，最后的检验即是判断所给的样本是否落在V内。因此，设计一个检验，本质上就是找到一个恰当的否定域

V，使得在H0下，它的概率：P(V|H0)?(或?)a

依据小概率原理推断可能会犯错误！

检验的原理是“小概率事件在一次试验中不发生”，以此作为推断的依据，决定是接受H0或拒绝H0.但是这一原理只是在概率意义下成立，并不是严格成立的，即不能说小概率事件在一次试验中绝对不可能发生。仍以上例来说，尽管按统计推断结论，认为摸球人作弊，但事实上也完全可能没有作弊。当摸奖人事实上的确是未作弊的话，商店的统计推断就犯了错误。 三、第一类错误、第二类错误与显著水平

第一类错误（弃真错误）：原假设H0本来为真，却错误地否定

了。（属于弃真错误）

第二类错误（取伪错误）：原假设H0非真，但做出接受H0的选

择。（属于取伪错误）

犯两错误的概率：在假设检验中，犯第一类错误的概率记为α，

α也称为显著性水平。犯Ⅱ类错误的概率记为β。

对H0的行动 H0是真的 H1是真的 你正确 你犯第一类错误? 你犯第二类错误? 你正确 你的 态度 接受H0 拒绝H0 人们自然希望犯这两类错误的概率越小越好。但对于一定的样本容量n，两类错误有相反的关系，减小α会引起β增大，减少β会引起α增大。

????可能带来的后果越严重，危害越大的一类错误，在假设检验假设检验中，遵守首先控制犯α错误原则大家都在执行这样

中作为首要的控制目标！它是谁呢？

一个原则。

原因是：原假设是什么常常是明确的，而替换假设常常是模糊的。所以，人们常把最关心的问题作为原假设提出，将较严重的错误放到了α，这就能够在假设检验中对α错误实施有效控制。

假设检验中犯两类错误的概率如下图所示： 接受H0 拒绝H0 μ=μ0 α μ0 （a）

μ=μ1>μ 0β μ1 （b） 注意：

（1）在假设检验中，原假设H0与备选假设H1的地位不对等。检验推断是“偏向”原假设，而“歧视”备选假设的。在应用中一定要慎重提出原假设。

（2）对于H0的否定是有力的，且?越小，小概率事件越难于发生，一旦发生了，这种否定就越有力，也就越能说明问题。