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2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用
例1?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A?C)?8sin(1)求cosB
(2)若a?c?6，?ABC面积为2，求b． 【答案】（1）cosB?2B． 215（2）b?2． 172【解析】由题设及A?B?C??得sinB?8sin2B，故sinB?4(1?cosB)． 2上式两边平方，整理得17cosB?32cosB?15?0， 解得cosB?1（舍去），cosB?15 17.
（2）由cosB?15814ac． 得sinB?，故S?ABC?acsinB?171721717． 22222又S?ABC?2，则ac?由余弦定理及a?c?6得b?a?c?2accosB?(a?c)?2ac(1?cosB)
?36?2?1715?(1?)?4． 217所以b?2．
【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出
例2 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB?acosC?ccosA,则B? . 【答案】
π 31π?B?. 23【解析】2sinBcosB?sinAcosC?sinCcosA?sin(A?C)?sinB?cosB? Word资料
【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
2
例3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，c＝3，C＝π，则S△ABC＝________.
3
3 4
【答案】
bc131
【解析】因为c＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得＝，即＝＝2，即sin B＝，所以Bsin Bsin Csin B2π2
sin3
1113ππ2ππ
＝，所以A＝π－－＝.所以S△ABC＝bc sin A＝×3×＝. 66362224【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围
【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。 题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状
例1在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且A,B,C成等差数列 (1)若b?23,c?2，求?ABC的面积
(2)若sinA,sinB,sinC成等比数列，试判断?ABC的形状 【答案】(1)23 (2)等边三角形
【解析】(1)由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C(1) 因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π．(2) 得B＝
?b2＝a2＋c2－2accosB(3) 3，
22所以(23)?a?4?4acos?3 解得a?4或a??2(舍去)
所以s?ABC?11?acsinB??4?2sin?23 2232
(2)由a，b，c成等比数列，有b＝ac(4)
由余弦定理及(3)，可得b＝a＋c－2accosB＝a＋c－ac
再由(4)，得a＋c－ac＝ac，即(a－c)＝0。因此a＝c从而A＝C(5)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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由(2)(3)(5)，得A＝B＝C＝
? 3所以△ABC为等边三角形．
【易错点】等差数列，等比数列容易混淆
【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了. 例2在△ABC中，已知2a?b?c，sinA?sinBsinC，试判断△ABC的形状。 【答案】等边三角形
2【解析】sinA?sinBsinC?a?bc，又2a?b?c，所以4a2?(b?c)2，所以4bc?(b?c)2，即
22(b?c)2?0，因而b?c；由2a?b?c得a?b。所以a?b?c，△ABC为等边三角形。
【易错点】条件的转化运用
【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形： （1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用； （2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 题型三与三角形中有关的不等式问题
a2例1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.
3sinA（1）求sinBsinC;
（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长. 【答案】（1）sinBsinC?【解析】
2 ；（2）C?ABC?3?33 31a21a(1)由题设得acsinB?,即csinB?.23sinA23sinA1sinA 由正弦定理得sinCsinB?.23sinA2?sinCsinB?.3 Word资料
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