北京市2020年高考数学最新联考试题分类大汇编
一、选择题：
（3）(北京市东城区2020年1月高三考试文科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A） （B）
（C） （D） 【答案】C
【解析】该几何体为底面是直角边为的等腰直角三角形， 高为的直三棱柱，其体积为。
7．(北京市西城区2020年1月高三期末考试理科)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D
【解析】将三视图还原直观图，可知是一个底面为正方形（其对角线长为2），高为2的四棱锥，其体积为 A．且，则 B．且，则
C．且，则 D．且，则
【答案】C体的体积为 .
（9）(北京市东城区2020年4月高考一模文科)已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 .
10. (2020年4月北京市房山区高三一模理科一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .
三、解答题：
（17）(北京市东城区2020年1月高三考试文科）（本小题共14分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，是中点，为线段上一点. （Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由.
【命题分析】本题考查线线垂直和线面探索性问题等综合问题。考查学生的空间想象能力。证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.本题第一问利用方法二进行证明；探求某证明（Ⅰ）因为平面，
所以． 又四边形是正方形， 所以，，
所以平面, 又?平面,
所以. ………………7分
. ………………14分
(16) （2020年4月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分14分） 在四棱锥中， //，，，平面，. （Ⅰ）设平面平面，求证： //； （Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
(16)（本小题满分14分）
………………………………………5分
所以，， ， 所以， .
所以，. 因为，平面， 平面，
所以平面.
………
………………………………9分 由（Ⅱ）知平面的一个法向量为.
………
BxzPACDy………………………………12分
17. (2020年3月北京市朝阳区高三一模文科)（本题满分13分）
在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，，且是的中点. （Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在上是否存在一点，使得最大？ 若存在，请求出的正切值；若不存在， 请说明理由. （17）（本小题满分13分） （Ⅱ）解：假设在上存在一点，使得最大.
因为平面，所以.
又因为，所以平面. ………………………8分 在中，.
17．(北京市西城区2020年4月高三第一次模拟文)（本小题满分14分）
如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．
（Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）若，求证：；
（Ⅲ）求四面体体积的最大值．
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为四边形，都是矩形， 所以∥∥，．
所以 四边形是平行四边形，……………2分 所以∥， ………………3分 因为平面，
所以∥平面． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接，设．
因为平面平面，且，
所以平面， ……5分
所以． …………6分 9分 （Ⅲ）解：设，则，其中．
由（Ⅰ）得平面，
所以四面体的体积为． ………11分 所以． ……………13分
当且仅当，即时，四面体的体积最大． ………………14分 （17）(北京市东城区2020年4月高考一模理科)（本小题共13分）
图1 图2 （17）（共13分）
（Ⅰ）证明：取中点，连结.
因为，，
所以，而，即△是正三角形.
又因为, 所以. …………2分 所以在图2中有，.…………3分 所以为二面角的
平面角
.
图1
又二面角为直二面角， 所
以. …………5分
又因为, 所以⊥平面,即⊥平面. …………6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知⊥平面，，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，.
在图１中，连结. 因为，
所以∥，且.
所以四边形为平行四边形. 所以∥，且.
故点的坐标为（1，，0）. 图2
所以，，. …………8分 不妨设平面的法向量，则
即令，得. …………10分 所以. …………12分
故直线与平面所成角的大小为. …………13分 （17）(北京市东城区2020年4月高考一模文科)（本小题共14分）
如图，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使平面平面，连结，.（如图） （Ⅰ）若为中点，求证：∥平面； （Ⅱ）求证：.
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