2.1 曲线与方程
1．了解曲线与方程的对应关系． 2．了解两条曲线交点的求法． 3．了解用坐标法研究几何性质．
4．掌握求曲线的方程和由方程研究曲线的性质．
1．点的轨迹方程
一般地，一条曲线可以看成________________的轨迹，所以曲线的方程又常称为____________的点的轨迹方程．
【做一做1】到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是( ) A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
2．曲线的方程与方程的曲线的定义
(1)在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： ①__________________________________； ②__________________________________.
那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．
在曲线的方程的定义中，曲线上的点与方程的解之间的关系①和②缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的．从集合的角度来看，设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点组成的点集，则由关系①可知A?B，由关系②可知B?A；若同时具有关系①和②，就有A＝B.
(2)曲线C用集合的特征性质描述法，可以描述为C＝{M(x，y)|F(x，y)＝0}． 【做一做2】下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )
2
A．y＝x与x＝y
xy22
C．|y|＝|x|与x－y＝0
2
D．y＝lg x与y＝2lg x
B．y＝x与＝1
3．两曲线的交点
已知两条曲线C1：F(x，y)＝0和C2：G(x，y)＝0，求这两条曲线的交点坐标，只要求??F(x，y)＝0方程组?的________就可以得到．
?G(x，y)＝0?
曲线的交点问题需转化为二元方程组的求解问题，那么，解二元方程组的一切思路方法和相关知识，都是求两曲线交点的基本依据和方法．
2
【做一做3】曲线y＝x＋1和y＝x＋m有两个不同的交点，则( )
?3?A．m∈R B．m∈?0，? ?4?
3?3?C．m＝ D．m∈?，＋∞? 4?4?
1．曲线与方程的定义的理解
剖析：(1)定义中的第①条“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性)．
(2)定义中的第②条“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．
(3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程F(x，y)＝0的解集{(x，y)|F(x，y)＝0}之间的一一对应关系，由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以由曲线求它的方程．
2．曲线方程的求法
剖析：求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M︱p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0； (4)化方程F(x，y)＝0为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤(2)，直接列出曲线方程．
题型一 曲线与方程的概念
【例1】若曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是( ) A．曲线C的方程是F(x，y)＝0 B．方程F(x，y)＝0的曲线是C
C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上 D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上
反思：(1)判定曲线与方程的对应关系有两种方法：等价转换和特值讨论．它们使用的依据是曲线的纯粹性和完备性．
(2)处理“曲线与方程”的概念题，可采用直接法，也可采用特值法． 题型二 曲线方程的求法
2
【例2】已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x－1上移动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
分析：在这个问题中，动点C与点G之间有关系，写出C与G之间的坐标关系，并用G的坐标表示C的坐标，然后代入C的坐标所满足的关系式中，化简整理即得所求．
uuur【例3】长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足AC＝uuur2CB，求动点C的轨迹方程．
uuur分析：A，B分别在x，y轴上移动，可设A(x0,0)，B(0，y0)，又动点C(x，y)满足AC＝uuur2CB，代入即可得方程．
反思：求曲线的方程的关键是找到曲线上动点的运动规律，并利用坐标把这种规律翻译成代数方程．
1方程x＋xy＝x表示的曲线是( ) A．一个点 B．一条直线 C．两条直线
D．一个点和一条直线
2
2已知方程2x－xy＋1＝0表示的图形为C，则下列点不在C上的为( )
2
?1?A．?，3? B．(－3,5) ?2?
9???9?C．?－2，－? D．?2，? 2???2?
uuuruuur3在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝4.则点P
的轨迹方程是____________．
22
4点P(2，－3)在曲线x－ay＝1上，则a＝__________.
22
5已知k∈R，则直线y＝3x＋k与圆x＋y＝16无公共点时，k的取值范围为__________．
答案：
基础知识·梳理
1．动点依某种条件运动 满足某种条件 【做一做1】C
2．(1)①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解 ②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
【做一做2】C 3．实数解
2
【做一做3】D 已知条件可转化为联立后的方程组有两组不同的解，即方程x－x＋132
－m＝0的判别式大于零，即(－1)－4(1－m)＞0，解得m＞. 4
典型例题·领悟
【例1】C 方法一：上述说法写成命题的形式为“若点M(x，y)是曲线C上的点，则点M的坐标适合方程F(x，y)＝0”．其逆否命题为：“若点M的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则点M不在曲线C上”．故选C.
2
方法二：本题亦可考虑特值法，作直线l：y＝1.考查l与F(x，y)＝y－1＝0的关系，知选项A，B，D三种说法均不正确．故选C.
【例2】解：设△ABC的重心坐标为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公－2＋0＋xx＝，??3式得?0－2＋yy＝??3
11
2
??x1＝3x＋2，
??
?y1＝3y＋2，?
2
代入y1＝3x1－1，得3y＋2＝3(3x＋2)－1.
22
则有y＝9x＋12x＋3，故所求轨迹方程为y＝9x＋12x＋3.
【例3】解：∵长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动， 故可设A(x0,0)，B(0，y0)．
uuuruuur又动点C(x，y)满足AC＝2CB，
∴(x－x0，y)＝2(0－x，y0－y)， 即(x－x0，y)＝(－2x，2y0－2y)，
??x－x0＝－2x∴???y＝2y0－2y
x0＝3x，??
??3
y0＝y.?2?
2
2
又∵|AB|＝3，即x0＋y0＝9，
?3?22
∴(3x)＋?y?＝9.
?2?
整理得动点C的轨迹方程为x＋＝1.
4随堂练习·巩固
2
1．C x＋xy＝x因式分解得x(x＋y)＝x， 即x(x＋y－1)＝0， 即x＝0或x＋y－1＝0. 2．B
2
y2
uuuruuur3．x＋2y＝4 设P(x，y)，由OP·OA＝4知x＋2y＝4.
114． 将点P的坐标代入方程中即可求得a＝. 33
|k|
5．k＞8或k＜－8 无公共点时圆心到直线的距离大于半径，即＞4，∴k＞8或k2＜－8.
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