2003年美国数学邀请赛(1)
1. 已知
((3!)!)!3!=k?n!,这里k和n是正整数,其中n尽可能大,求k+n.
2. 在一个平面上有一百个同心圆,半径是1,2,3,?,100,将半径为1的圆的内部涂上红色,连续的圆形成的各个封闭区域或涂红色,或涂绿色,相邻的两个区域不同色,绿色区域的面积的和与半径为100的圆的面积之比可表示为,这里m和n是互质的正整数,求m+n.
nm3. 令集合S={8,5,1,13,34,3,21,2},苏珊按以下方式形成一列数,对每一个S的两元素子集,她将这个两元集合中较大的数记入她的数列,求这个数列的和.
4. 已知log10sinx+log10cosx=-1,log10(sinx+cosx)=(log10n-1),求n.
215. 考察一个点集,其中的点或在一个3?4?5的长方体的内部,或者与此长方体的距离不超过1,已知这个点集的体积是m,n,p是正整数,n与p互质,求m+n+p.
6. 若三角形的顶点是同一个1?1?1的立方体的顶点,所有这样的三角形的面积之和是m+
nm?n?p,这里
+
p,这里m,n,p是整数,求m+n+p.
7. 点B在线段AC上,使得AB=9,BC=21,点D不在AC上,AD=CD,并且AD和BD都是整数,设s是?ACD所有可能的周长的和,求s. 8. 在由四个正整数构成的递增数列中,前三个数形成一个等差数列,最后三个数形成一个等比数列,第一个数与第四个数差30,求这四个数之和.
9. 对于一个介于1000与9999(包括这两个数)之间的整数,如果它最
左边的两个数码之和等于最右边的两个数码之和,就称它为“平衡数”.有多少个这样的“平衡数”?
10. 在等腰?ABC中,AC=BC,?ACB=106?,点M在此三角形的内部,使得?MAC=7?,?MCA=23?,求?CMB的度数.
11. 在区间0? nd的角度数,并且m和n是正整数,m+n<1000,求m+n. 12. 在凸四边形ABCD中,?A=?C,AB=CD=180,AD?BC,ABCD的周长是640,求[1000cosA](注:[x]表示不超过x的最大整数) 13. 在不超过2003的正整数中,其二进制表示下1的个数比0的个数多的有N个,求N被1000除的余数. 14. 当m和n是互质的正整数且m mn的十进制小数表示中包含 了数字2,5,1,并且它们是按该顺序连续的,求n可能取得的最小值. 15. 在?ABC中,AB=360,BC=507,CA=780,M是CA的中点,点D在边CA上,使得BD平分?ABC,点F在BC上,使得DF?BD,若DF与BM相交于点E,DE:EF可以写成的形式,这里m和n是互质的正 nm整数,求m+n. 答案 839 301 484 012 505 348 380 129 615 083 092 777 155 127 289
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