专题训练 恒成立存在性问题
知识点梳理
1、恒成立问题的转化：a?f?x?恒成立?2、能成立问题的转化：a?f?x?能成立?a?f?x?max；a?f?x?恒成立?a?f?x?min
a?f?x?min；a?f?x?能成立?a?f?x?max
2）对任意x1?[1,2],x2?[2,4]，都有f(x1)?g(x2)恒成立，求实数a的取值范围； 【分析：】
1）思路、等价转化为函数f(x)?g(x)?0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．
2）思路、对在不同区间内的两个函数f(x)和g(x)分别求最值，即只需满足fmin(x)?gmax(x)即可．
x3?xax3?x简解：（1）由x?2ax?1??0?a?2成立，只需满足?(x)?2的最小
x2x?12x?132x4?x2?1x?x?0，故?(x)在x?[1,2]是值大于a即可．对?(x)?2求导，??(x)?22(2x?1)2x?122增函数，?min(x)??(1)?，所以a的取值范围是0?a?．
33a11h(x)?10h(x)??x?ba?[,2]x?[,1]恒成立，求2、设函数，对任意，都有在
x42实数b的取值范围．
23、恰成立问题的转化：a?f?x?在M上恰成立?a?f?x?的解集为
?a?f?x?在M上恒成立M?? ???a?f?x?在CRM上恒成立另一转化方法：若x?D,f(x)?A在D上恰成立，等价于f(x)在D上的最小值fmin(x)?A，若x?D,f(x)?B在D上恰成立，则等价于f(x)在D上的最大值fmax(x)?B.
4、设函数f?x?、g?x?，对任意的x1??a,b?，存在x2??c,d?，使得f?x1??g?x2?，
则fmin?x??gmin?x?
5、设函数f?x?、g?x?，对任意的x1??a,b?，存在x2??c,d?，使得f?x1??g?x2?，
分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决． 方法1：化归最值，h(x)?10?hmax(x)?10；
ab?10?(?x)或a??x2?(10?b)x； 方法2：变量分离，
x11方法3：变更主元，?(a)??a?x?b?10?0，a?[,2]
2xaa(x?a)(x?a)简解：方法1:对h(x)?g(x)?x?b??x?b求导，h?(x)?1?2?， 2xxx11由此可知，h(x)在[,1]上的最大值为h()与h(1)中的较大者．
441?1??3971?h()?10?4a??b?10?b??4a??4????a?[,2]b?44 b，对于任意，得的取值范围是．
42????h(1)?10?1?a?b?10?b?9?a则fmax?x??gmax?x?。
6、设函数f?x?、g?x?，对任意的x1??a,b?，存在x2??c,d?，使得f?x1?=g?x2?，
则f?x?在x1??a,b?上的值域M是g?x?在x2??c,d?上的值域N的子集。即：M?N。
7、设函数f?x?、g?x?，存在x1??a,b?，存在x2??c,d?，使得f?x1??g?x2?，则fmax?x??gmin?x?
8、设函数f?x?、g?x?，存在x1??a,b?，存在x2??c,d?，使得f?x1??g?x2?，则fmin?x??gmax?x?
9、若不等式f?x??g?x?在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y?f?x?和图象在函数y?g?x?图象上方；
10、若不等式f?x??g?x?在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y?f?x?和图象在函数y?g?x?图象下方； 题型一、常见方法
1、已知函数f(x)?x2?2ax?1，g(x)?，其中a?0，x?0． 1）对任意x?[1,2]，都有f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
ax?1?3、已知两函数f(x)?x，g(x)????m，对任意x1??0,2?，存在x2??1,2?，使得
?2?f(x1)?g?x2?，则实数m的取值范围为
2x?1?解析：对任意x1??0,2?，存在x2??1,2?，使得f(x1)?g?x2?等价于g(x)????m在?1,2??2?1112?m??0,2?m?0m?f(x)?x 上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴4441 / 5下载文档可编辑
xb14. 已知f(x)?2ax??lnx在x?1与x?处都取得极值. 函数g(x)=x2?2mx+m，
x211若对任意的x1?[,2]，总存在x2?[,2]，使得、g(x1)?f(x2)?lnx2，求实数m的
222??f??2??0??x?4x?3?0?x?3或x?1??2??上恒大于0，故有：??x??1或x?3 ?x?1?0?x?1或x??1???f?2??02、已知函数f(x)?ln(ex?a)(a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g?x???f(x)?sinx是区
取值范围。
解析：Qf(x)?2ax??lnx,?f?(x)?2a?2?Qf(x)?2ax??lnx在x?1与x?xxxx2
处都 取得极值∴f?(1)?0，f?()?0， ∴ ?1a?b??时，
3bb1b112?2a?b?1?01 解得：a?b??当
3?2a?4b?2?0间??1,1?上的减函数，(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若g(x)?t??t?1在x???1,1?上恒成立，求t的
取值范围；
(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：?及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将?视作自变量，则上述问题即可转化为在???,?1?内关于?的一次函数大于等于0恒成立的问题。(Ⅱ)略解：由(Ⅰ)
，1??上单调递减，?g(x)??x?sinx，Qg(x)在??11?g?(x)???cosx?0????cosx在??1，知：f(x)?x，
?只需???sin1?t??t?1，?g(x)??g(?1)????sin1，?(t?1)??t?sin1?1?0????1，上恒成立，（其
0(???1）,则中???1）恒成立，由上述②结论：可令f????(t?1)??t?sin1?1?y222max21?2(x?1)(x?)2112，所以函数f(x)在x?1与x?1处都取得极值. f?(x)???2?=233xx3x21211∴a?b?? 又 函数y=f(x)?lnx??x+在[，2]上递减，∴
333x27[f(x)?lnx]min=f(2)=?
6y?ax 题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）t?1?0t??1???t2?t?sin1?0恒成立，?t??1。 y?|x|??2，，而2??t?1?t?sin1?1?0?t?t?sin1?0y?|x|y?ax1、当x??1,2?时，不等式x2?mx?4?0恒成立，则m的取值范围是 . 解析: 当x?(1,2)时，由x2?mx?4?0得m??x?4.∴m??5. x2xO 又 函数g(x)=x?2mx+m图象的对称轴是x=m
2（1）当m<时：g(x)min=g()=，依题意有 ??成立， ∴ m<127612121414761 2（2）当?m?2时：g(x)min=g(m)=m?m2， ∴m?m2??，即6m2?6m?7?0， 解得：3?513+5113+511?m? 又∵ ?m?2，∴?m? 66262731（3）当m>2时：g(x)min=g(2)=4?3m，∴ 4?3m??， ?m?， 又 m>2，∴m??
618综上：m?3+513+51] 所以，实数m的取值范围为(??,66题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)
1、对于满足p?2的所有实数p,求使不等式x2?px?1?p?2x恒成立的x的取值范围。 解：不等式即?x?1?p?x2?2x?1?0,设f?p???x?1?p?x2?2x?1，则f?p?在[-2,2]
题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法））
1、若对任意x?R,不等式|x|?ax恒成立，则实数a的取值范围是________
解析：对?x?R,不等式|x|?ax恒成立、则由一次函数性质及图像知?1?a?1，即?1?a?1。
2、已知函数f?x??x?2kx?2，在x??1恒有f?x??k，求实数k的取值范围。
分析：为了使f?x??k在x???1,???恒成立，构造一个新函数F?x??f?x??k，则把原题转化成左边二次函数在区间??1,???时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
解：令F?x??f?x??k?x?2kx?2?k，则F?x??0对x???1,???恒成立，而F?x?是开口向上的抛物线。
①当图象与x轴无交点满足??0，即??4k?2?2?k??0，解得?2?k?1。 ②当图象与x轴有交点，且在x???1,???时F?x??0，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：
222????0???F??1??0解得?3?k??2，故由①②知?3?k?1。 ??2k????1??22 / 5下载文档可编辑
2小结：若二次函数y?ax?bx?c?a?0?大于0
?a?0恒成立，则有?，同理，若二次函???0 （Ⅱ）若l （Ⅲ）函数g(x)?x3?x?2,证明：?x1?(1,e),?x0?(1,e),使得g(x0)?f(x1)成立． 数y?ax2?bx?c?a?0?小于0 ?a?0恒成立，则有?。若是二次函数在指定区间上的恒???0成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法 若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上f?x?max?A； 若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的f?x?min?B. 1、存在实数x，使得不等式x?3?x?1?a?3a有解，则实数a的取值范围为______。 解：设f?x??x?3?x?1，由f?x??a?3a有解，?a?3a?f?x?， 又x?3?x?1??x?3???x?1??4，∴a?3a?4，解得a?4或a??1。 222min212fx?lnx?ax?2x?a?0?存在单调递减区间，求a的取值范围 2、已知函数??221ax?2x?1解： 因为函数f?x?存在单调递减区间，所以f?x???ax?2???0 xx1212a??x?0,??ux??????0,??????有解.即能成立, 设2x2x. xx' 21?由u?x??2?????1??1得, umin?x???1.于是,a??1, x?x?x由题设a?0,所以a的取值范围是??1,0???0,??? 12小结： 恒成立与有解的区别： 恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。 ①不等式f?x??M对x?I时恒成立?f(x)?M?，x?I。即f?x?的上界小于或等于M； ②不等式f?x??M对x?I时有解?f(x)?M?，x?I。 或f?x?的下界小于或等于M； ③不等式f?x??M对x?I时恒成立?f(x)?M?，x?I。即f?x?的下界大于或等于M； ④不等式f?x??M对x?I时有解?f(x)?M，x?I.。 或f?x?的上界大于或等于M； 题型六、等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法 maxminmin max 1． 已知函数f(x)?ax?lnx,x?(1,e),且f(x)有极值 （I）求实数a的取值范围； 3 / 5下载文档可编辑 4、不等式ax?x?4?x?在x??0,3?内恒成立，求实数a的取值范围。 5、已知两函数f?x??7x?28x?c，g?x??2x?4x?40x。 （1）对任意x???3,3?，都有f?x??g?x?成立，求实数c的取值范围； （2）存在x???3,3?，使f?x??g?x?成立，求实数c的取值范围； （3）对任意x,x???3,3?，都有f?x??g?x?，求实数c的取值范围； （4）存在x,x???3,3?，都有f?x??g?x?，求实数c的取值范围； 23212121212 课后作业： 1、设a?1，若对于任意的x?[a,2a]，都有y?[a,a2]满足方程logax?logay?3，这时a的取值集合为（ ） （A）{a|1?a?2} （B）{a|a?2} （C）{a|2?a?3} （D）{2,3} 13 （Ⅰ）求函数f?x?的单调区间和极值； 6、设函数f(x)??x3?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R). （Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f??x??a成立，求a的取值范围。 ?x?y?0?2、若任意满足?x?y?5?0的实数x,y，不等式a(x2?y2)?(x?y)2恒成立，则实数a?y?3?0?的最大值是___。 3、不等式sin 2x?4sinx?1?a?0有解，则a的取值范围是 4 / 5下载文档可编辑 →，→7、已知A、B、C是直线?上的三点，向量→OA，OBOC满足： OA??y?2f??1???OB?ln?x?1??OC?0. （1）求函数y＝f(x)的表达式； 2x （2）若x＞0，证明：f(x)＞x＋2； 12（3）若不等式2x?fx2?m2?2bm?3时，x???1,1?及b???1,1?都恒成立，求实数的取值范围． ??m 8、设f?x??px?x?2lnx，且f?e??qe?e?2（e为自然对数的底数） (I) 求 p 与 q 的关系； (II)若f?x?在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围； 2e(III)设g?x??，若在?1,e?上至少存在一点x0，使得f?x0??g?x0?成立, 求实数 p xqp的取值范围. （学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定 可以获得应有的回报） 5 / 5下载文档可编辑
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