(2)待求变力的功一般用符号W表示，但要分清结果是变力的功，还是克服此变力的功。
1.如图4-4-5所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F时，转动半径为R；当拉力逐渐减小到时，物体仍做匀速圆周运
4动，半径为2R。则外力对物体所做的功的大小是( )
F
图4-4-5
A.C.
FR4
B.
3FR 4
5FR 2
D．零
mv12
解析：选A 当细绳的拉力为F时，设小球做匀速圆周运动的线速度为v1，则有F＝；
RFmv22
当细绳的拉力减为时，小球做匀速圆周运动的线速度为v2，则有＝。在细绳的拉力由
442RFF11FRF减为的过程中，由动能定理知，细绳的拉力所做的功为W＝mv22－mv12＝－。所以，细
4
2
2
4
绳的拉力所做的功的大小为
FR4
，选项A正确。
2.如图4-4-6所示，斜槽轨道下端与一个半径为0.4 m的圆形轨道相连接。一个质量为0.1 kg的物体从高为H＝2 m的A点由静止开始滑下，运动到圆形轨道的最高点C处时，对轨道的压力等于物体的重力。求物体从A运动到C的过程中克服摩擦力所做的功。(g取10 m/s)
2
图4-4-6
解析：物体运动到C点时受到重力和轨道对它的压力，由圆周运动知识可知
mvC2
N＋mg＝，又N＝mg，
r联立两式解得vC＝2gr＝22 m/s，
在物体从A点运动到C点的过程中，由动能定理有
mg(H－2r)－Wf＝mvC2－0，
代入数据解得Wf＝0.8 J。 答案：0.8 J
动能定理在多过程中的应用
1．多过程问题的分析
对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理。 (1)分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。
(2)全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力的做功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。
(3)当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更方便，但此方法的难点在于确定整个过程的总功。
2．动力学问题两种解法的比较
12
适用条件 牛顿运动定律运动学公式结合法 只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况 要考虑运动过程的每一个细节 矢量运算 动能定理 对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能 代数运算 应用方法 运算方法 相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析 通过对比可以看出应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错。
[典例] 如图4-4-7所示，一质量为2 kg的铅球从离地面2 m高处自由下落，陷入沙坑2 cm深处，求沙子对铅球的平均阻力。(取g＝10 m/s)
2
图4-4-7
[思路点拨] 铅球在运动的两个过程中受力情况不同，重力作用于全过程，阻力仅存在于陷入沙子的过程中。
[解析] 法一 应用牛顿第二定律与运动学公式求解 设铅球做自由落体运动到沙面时的速度为v，则有v＝2gH
在沙坑中运动的阶段，设铅球做匀减速运动的加速度大小为a，则有v＝2ah。联立以上两式解得a＝g
设铅球在沙坑中运动时受到的平均阻力为f，由牛顿第二定律得f－mg＝ma，所以f＝
2
2
HhH＋h2＋0.02
mg＋ma＝·mg＝×2×10 N＝2 020 N。
h0.02
法二 应用动能定理分段求解
设铅球自由下落到沙面时的速度为v，由动能定理得
mgH＝mv2－0
设铅球在沙中受到的平均阻力大小为f。 12
由动能定理得mgh－fh＝0－mv
2联立以上两式得f＝
12
H＋h·mg＝2 020 N。 h法三 应用动能定理全程求解
铅球下落全过程都受重力，只有进入沙中铅球才受阻力f。 重力做功WG＝mg(H＋h) 而阻力做功Wf＝－fh
由动能定理得mg(H＋h)－fh＝0－0 代入数据得f＝2 020 N。 [答案] 2 020 N
当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和。
1. (多选)在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，运动过程的v -t图像如图4-4-8所示，设汽车的牵引力为F，所受摩擦力为f，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则( )
图4-4-8
A．F∶f＝1∶4 C．W1∶W2＝1∶1
B．F∶f＝4∶1 D．W1∶W2＝1∶3
解析：选BC 对汽车全过程应用动能定理：W1－W2＝0，所以W1＝W2；由题图可知牵引力与阻力作用距离之比为1∶4，由Fx1－fx2＝0知F∶f＝4∶1，B、C正确。
2．水上滑梯是一项有趣的娱乐活动。它简化成如图4-4-9所示的模型：倾斜滑道AB与水平滑道BC平滑连接，游客(可视为质点)从A处无初速度地自由滑下，到达B点后沿BC做直线运动，并从C点水平滑出落入水中。已知A点与BC的高度差H＝3 m，滑道AB长s1＝5 m，BC长s2＝2 m，末端C距水面高度h＝0.8 m。游客在AB段所受摩擦力大小f1＝40 N，在BC段所受摩擦力大小f2＝50 N，游客质量m＝50 kg，不计空气阻力，取g＝10 m/s。求：
2
图4-4-9
(1)游客从A点沿滑道滑行到B点过程中克服摩擦力所做的功W1； (2)游客从C点滑出至落到水面经历的时间； (3)游客到达C点时的动能大小Ek。
解析：(1)运动员从A滑到B的过程中，克服摩擦力做功为：
Wf＝f1s1＝40×5 J＝200 J。
(2)游客从C点滑出至落到水面的过程做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有：
h＝gt2
可得：t＝
2h＝
2×0.8
s＝0.4 s。 10
12
g(3)从A滑到C的过程中，根据动能定理有：
mgH－Wf－f2s2＝Ek－0
解得：Ek＝1 200 J。
答案：(1)200 J (2)0.4 s (3)1 200 J
1．两个物体的质量之比为1∶4，速度大小之比为4∶1，则这两个物体的动能之比是( )
A．1∶4 C．2∶1
B．4∶1 D．1∶1
12
解析：选B 两个物体的质量比为1∶4，速度大小比为4∶1，根据Ek＝mv得，动能
2之比为：
2????Ek1∶Ek2＝?×1×4?∶?×4×1?＝4∶1。
22
11
????
故选B。
2．放在光滑水平面上的物体，仅在两个同向水平力的共同作用下开始运动。若这两个力分别做了6 J和8 J的功，则该物体的动能增加了( )
A．48 J C．10 J
B．14 J D．2 J
解析：选B 合力对物体做功W合＝6 J＋8 J＝14 J。根据动能定理得物体的动能增加量为14 J，B对。
3．(多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是( )
A．Δv＝10 m/s C．ΔEk＝1 J
B．Δv＝0 D．ΔEk＝0
解析：选AD 速度是矢量，故Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s。而动能是标量，初末两状态的速度大小相等，故动能相等，因此ΔEk＝0，A、D正确。
4．速度为v的子弹，恰可穿透一块固定的木板。如果子弹速度为2v，子弹穿透木板时所受阻力视为不变，则可穿透同样的固定木板( )
A．2块 C．4块
B．3块 D．8块
12
解析：选C 设木板的厚度为d，子弹的速度为v时，由动能定理知－fd＝0－mv。当
212
子弹的速度为2v时，设能穿透n块木板，由动能定理知－f·nd＝0－m(2v)，联立两式解
2得n＝4，C正确。
5.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图1所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压
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