（3）圆锥曲线与直线问题 例3.1已知椭圆C:x2?2y2?4，
（1）求椭圆C的离心率.
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y?2上，且OA?OB，求直线AB与圆x2?y2?2的位置关系，并证明你的结论.
x2y2?1， 解析：⑴椭圆的标准方程为：?42a?2，b?2?则c?2，离心率e?c?2;
a222x?y?2相切.证明如下： ⑵直线AB与圆
法一：
设点A?B的坐标分别为?x0?y0???t?2?，其中x0?0. 因为OA⊥OB，所以OA?OB?0，即tx0?2y0?0，解得t??2y0. x0t2当x0?t时，y0??，代入椭圆C的方程，得t??2, 2故直线AB的方程为x??2.圆心O到直线AB的距离d?2.
22x?y?2相切. AB此时直线与圆
y?2当x0?t时，直线AB的方程为y?2?0?x?t?，
x0?t即?y0?2?x??x0?t?y?2x0?ty0?0. 圆心O到直线AB的距离
d?22?2y0?4，t??又x02x0?ty0.
2?y0?2?2??x0?t?2y0，故 x024?x0x0d?22y02x0?x022x0?y0?4y?4x2020?x?8x?162x402020?2. 此时直线AB与圆x2?y2?2相切. 法二：
由题意知，直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为y?kx，OA⊥OB，
①当k?0时，A??2?0?，易知B?0?2?，此时直线AB的方程为x?y?2或?x?y?2， 原点到直线AB的距离为2，此时直线AB与圆x2?y2?2相切； 1②当k?0时，直线OB的方程为y??x，
k?y?kx联立?22?x?2y?4?22k??21?2k2得点A的坐标?1?2k??22k?????21?2k2?或?1?2k???；
1??y??xk得点B的坐标?2k?2， 联立????y?2??22k由点A的坐标的对称性知，无妨取点A??21?2k2?1?2k2k于是直线AB的方程为：y?2???进行计算， ?1?2k21?2k2?2?x?2k???2kk?1?2k21?k1?2k2?x?2k?，
2222即k?1?2kx?1?k1?2ky?2k?2?0，
????原点到直线AB的距离
d?2k2?2?k?1?2k2???1?k21?2k2?2?2,
此时直线AB与圆x2?y2?2相切。 综上知，直线AB一定与圆x2?y2?2相切. 法三：
①当k?0时，A??2?0?，易知B?0?2?，此时OA?2?OB?2，
AB?22?22?22，原点到直线AB的距离d?OA?OBAB?2?222?2，、
此时直线AB与圆x2?y2?2相切； 1②当k?0时，直线OB的方程为y??x，
k设
A?x1?y1??B?x2?y2?，则
OA?1?k2x1，OB?1???k?y2?21?k2，
2?y?kx联立?22?x?2y?42?22k??21?2k2得点A的坐标?1?2k??22k?????21?2k2?或?1?2k???；
于是OA?1?kxA?4?1?k2?1?2k221?k21?2k22，OB?21?k2, AB??4?1?k??22?1?k2?1?2k?21?k22，
21?k2所以d?OA?OBAB2?1?2k22?1?k2??2,直线AB与圆2x?y2?2相切；
1?2k2综上知，直线AB一定与圆x2?y2?2相切
x2y2练习1：已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点(0,1)，且长轴长是焦距的2倍. 过椭
ab圆左焦点F的直线交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由； （Ⅲ）若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率k的取值范围.
（4）圆锥曲线定值与证明问题
例4.1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为两个焦点的距离之和为4． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过
原点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：|AM|?|AN|?2|OP|．
23，且椭圆C上的点到2x2y2解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为2?2?1(a?b?0)，
ab?a2?b2?c2,?3?c,由题意知??解得a?2，b?1． 2?a?2a?4,?x2?y2?1．……………………………5分 所以椭圆C的标准方程为4（Ⅱ）设直线AM的方程为：y?k(x?2)，则N(0,2k)． 由 ??y?k(x?2)，22?x?4y?4,得(1+4k)x?16kx?16k?4?0（*）．
2222设A(?2,0)，M(x1,y1)，则?2，x1是方程（*）的两个根，
2?8k2所以x1?．
1?4k22?8k24k,)． 所以M(1?4k21?4k216?16k241?k22?8k2?2?8k224k2 |AM|?(． ?)?()?(1?4k2)21?4k21?4k21?4k2 |AN|?4?4k2?21?k2．
41?k2?21?k28(1?k2)|AM||AN|??．
1?4k21?4k2 设直线OP的方程为：y?kx．
?y?kx，22(1?4k)x?4?0． 由 ?2得2?x?4y?4,4k42y?设P(x0,y0)，则x0?，． 01?4k21?4k2224?4k28?8k22所以|OP|?，2|OP|?．
1?4k21?4k22所以|AM|?|AN|?2|OP|．
2X2y23例4.2:已知椭圆C：2?2?1 （a>b>0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，
2ab0），△OAB的面积为1.
（I）求椭圆C的方程；
(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。 求证：AN?BM为定值。
6x2y2练习1：已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个
3ab焦点构成的三角形的面积为(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知动直线y?k(x?1)与椭圆C相交于A、B两点. ①若线段AB中点的横坐标为?
52. 317,求斜率k的值;②若点M(?,0),求证:MA?MB为定值. 23练习2：已知抛物线C : y2 ＝2 px（p＞ 0），其焦点为F，O为坐标原点，直线 AB（不垂直
于x轴）
过点F 且抛物线C交于 A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为－p ． （1）求抛物线C 的方程；
（2）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点 D ，求证：
|OD|＞2
|OM|
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