储油罐的变位识别与罐容表标定

储油罐的变位识别与罐容表标定

摘要

本文根据题目要求，针对储油罐变位时罐容标定问题建立了合适的数学模型，对问题精确求解，分析理论值与实际值的关系，从而对公式进行了修正，据此得出了合理的结论。

对于问题一，根据几何知识，采用截面法和定积分推导出无变位时理论油容量与油位高度的关系式。将Matlab求积分表达式得出无变位时理论值和附件中的实际值进行比较发现，理论值大于实际值，且两者的偏差一直稳定在3.37%左右，故据此对函数进行修正。接着，分三种情况讨论纵向变位时容积和油面高度的关系，并在模型中加入无变位时的修正函数。同样分析理论值和实际值得出这是由测量误差带来的纵向变位液位较低时罐容表读数偏小，液位较高时罐容表读数偏大的结论。于是我们按照理论值对油罐进行了标定。 对于问题二，

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一、 问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套“油

位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为??4.1?的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、 问题分析

在问题一中，对于油罐无变位的情况，我们考虑通过推导出体积与液面高度

的计算公式，随后通过公式计算出理论值，并和实际值进行对比算出相对误差，进而优化函数。而对于油罐纵向变位的情况下，考虑在倾斜??4.1?情况下，分液面高度处于不同位置的三种情况，从而推导出体积与液面高度的计算公式，随后通过公式计算出理论值，并和实际值进行对比算出相对误差，进而修正函数。通过修正的函数给出变为后油位高度间隔1cm的罐容表标定值。

在问题二中，

三、 模型假设

1、 忽略油罐发生纵向位移以及横向位移时引起的油罐结构的变化。

2、 假设油罐发生变位角不会过大，符合地基变化的实际情况。 3、 假设油位探针是固定的，即其始终垂直于储油罐底部。

4、 假设题目中油面高度的测量是准确的，罐内储油量测量的误差仅仅是由于未考虑变位造成的。

5、 假设油罐没有设计缺陷，如局部无凹陷。 6、 假设忽略出油与进油速度对油位高度的影响。

四、 符号说明

V 2

体积

St ? Vt1,Vt2,Vt3 h H a b 椭圆的截面积 理论值与实际值的误差 三种不同情况下的体积 通过油浮子算出的高度 变位后对应不同的y的液面高度 椭圆截面的长半轴 椭圆截面的短半轴 五、 模型建立与求解

5.1 问题一

为求解罐体变位对罐容表的影响。首先推导出无变位情况下罐容和高度的关

系，利用推导出的公式和附件中的数据，计算无变位情况下的相对误差，通过误差修正表达式以使表达式准确。然后在纵向变位时，求出油面高度与位置的函数，并求解积分进而通过分析计算给出从0~1.2m间隔0.01m的罐容标定值。 5.1.1 无变位情况

（1）无变位时体积公式的推导

首先，我们画出以一侧底中心为原点，画出无变位情况下，罐体的空间立体结构图和截面图如下：

ZYX图 1 无变位情况下油罐的空间立体图

在罐体无变位的情况下，我们想要推导出油罐中油的体积和油液面高度的关系，可以考虑先对截面积，即椭圆面油面进行积分，随后对罐长积分。由于椭圆面上的油液面高度相同，我们将二重积分简化为：

V?St?L (1)

下面我们进行椭圆截面积的推导，首先画出椭圆截面图：

Zb0-a-aXdzH-b图 2 椭圆截面图

椭圆公式为：

3

则：

x2z2+2?1 2ab(2)

z2a22 (3) x??a?1?2??b?z bb被截椭圆面的液面高为H,其中0?H?2b，z?(?b,H?b)。图中带阴影部分为储油横截面，先用微元法求解面积微元ds：

ds?2?x?dz (4) H?bH?ba22St??2?x?dz??2?b?z?dz?b?bb下面用换元法，令z?b?sin?，则dz?b?cos??d?，我们根据z?(?b,H?b)，

?H?b?H?b?2?arcsin)，则bsin??(?b,H?b)，解出??(?,arcsin令?1??，，2b2b代入上下限得：

St??2ab?cos??d???ab(cos(2?)?1)d?

?1?1?22?2(5)

对（5）式进行积分，得到：

St?ab???2121?ab?sin(2?) 2?1?(6)

对（6）式带上下限即得到St与截面油高H之间的关系如下：

H?ba?(H?b)?H?(2b?H))?

2bb下面我们将（7）式代入（1）式，得到：

??H?ba?(H?b)?H?(2b?H)?V?L?ab?ab?arcsin()? ??

2bb????

St??ab?ab?arcsin((7)

(8)

（2）无变位时体积公式的求解

x2z2??1，进而由公式（3）得我们将实际数据代入公式（2）得

0.8920.620.892z20.892z22，代入（4）式得到面积微元公式ds?2?0.89?x?0.89??dz，220.60.6进而代入（5）~（8）式得到体积公式：

???H?b?a??H?b??H??2b?H???V?L??ab?ab?arcsin???2b?b????? (9)

???H?0.6?0.89*?H?0.6?*H*?0.6*2?H????2.45??*0.89*0.6?0.89*0.6*arcsin???20.6?H?????我们用Matlab软件画出通过（9）式算出的理论值和附表Excel中给出的实验数据的对比图如下：

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