第二讲
I 授课题目： §2.1导数概念（四） §2.2函数的求导法则（一）（二） II 教学目的与要求：
1.理解函数可导性与连续性之间的关系； 2.熟练掌握导数的运算法则； 3.熟练掌握反函数求导法则 III 教学重点与难点：
重点：导数的四则运算法则，反函数的导数 难点：函数的连续性与可导性的关系 IV 讲授内容：
学了函数的连续性和函数的导数，要分析函数导性与连续性的关系。并介绍函 数的导数四则运算法则，反函数的导数。 一、函数可导性与连续性的关系
函数y?f(x)在点x处导，即：
lim?y?f?(x) （1）
?x?0?x又由有极限的函数与无穷小的关系知：
?y?f?(x)?? （2） ?x式（2）中的?为当?x?0时的无穷小，式（2）两边同乘以?x，得
?y?f?(x)?x???x
当?x?0时?y?0，函数y?f(x)在点x处是连续的。
如果函数y?f(x)的在点x处可导，则函数在该点必连续。 另外，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。
例1 函数y?f(x)?3x在区间(??,??)内连续，但在点x?0处不可导。 证明 在点x?0处有
f(0?h)?f(0)3h?01??2/3,hhh f(0?h)?f(0)1lim?lim2/3???h?0h?0hh即导数为无穷大。
函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。 二、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 如果函数u?u(x)及v?v(x)都在点x?0有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x?0有导数，且
(1)[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x);(2)[u(x)v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x);(3)[证（1）
u(x)u?(x)v(x)?u(x)v?(x)]??(v(x)?0)2v(x)v(x)[u(x)?v(x)]??lim[u(x??x)?v(x??x)]?[u(x)?v(x)]?x?0?xu(x??x)?u(x)v(x??x)?v(x)?lim?lim ?x?0?x?0?x?x?u?(x)?v?(x)定理1中的法则的（1）、（2）能推广到任意有限个导函数的情形。三个函数的情况为
(u?v?w)??u??v??w?; (uvw)??[(uv)w]??(uv)?w?(uv)w?
?u?vw?uv?w?uvw?例2
f(x)?x3?4cosx?sin解
?,求f?(x)及f?()22?
f?(x)?3x2?4sinx, ?3f?()??2?424例3 y?secx,求y? 解
1)?cosx(1)?cox?1?(cosx)? ?cos2xsinx??secxtanx2cosxy??(secx)??(三、反函数的求导法则
定理2 如果函数x?f(y)在区间Iy内单调、可导且f?(y)?0，则它的反函数
y?f?1(x)在区间Ix?xx?f(y),y?Iy内可导，且
[f?1(x)]?? dy??1f?(y) （3）
dx?1dxdy证 因 x?f(y)在Iy 单调、可导（从而连续），又x?f(y)的反函数 y?f?1(x)存在，且 在f?1(x)在 Ix内单调、连续， x?Ix 给x以增量 ?x （?x?0,x??x?Ix），函数 y?f?1(x)的单调性知
?y?f?1(x??x)?f?1(x)?0
得
?y1
? ?x?x?y
因y?f?1(x)连续，故
?y? 0 lim?x?0从而
[f?1(x)]??lim?y11?lim?
?x?0?x?x?0?xf?(y)?y 反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 例4 解反三角函数的导数 解 设x?siny,y?[???,]为直接函数，则y?arcsinx是它的反函数。函数22x?siny在开区间Iy?(???,)内单调、可导，且(siny)??cosy?0，因此公式22（3），在区间Ix?(?1,1)内有
?? (arcsxi)n11 ??(siny)cosy22但cosy?1?siny?1?x（因为当??2?y??2时，cosy?0所以根号前只取
正号），从而得反正弦函数的导数公式：
?? (arcsxi)n11?x2
V 小结与提问：
小结：1. 给出了函数的连续性与可导性的关系；
2. 给出了函数的和、差、积、商的求导法则; 3. 给出了反函数的求导法则
提问：函数的连续性与可导性的关系？ VI 课外作业：
P86 15 P96 1，2 （3），（7），（10）
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