课时作业9 函数的最大(小)值与导数
知识点一 函数最值的概念
1.设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( ) A．f(x)的极值点一定是最值点 B．f(x)的最值点一定是极值点 C．f(x)在此区间上可能没有极值点 D．f(x)在此区间上可能没有最值点 答案 C
解析 根据函数的极值与最值的概念判断知选项A，B，D都不正确，只有选项C正确． 2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)( ) A．等于0 C．小于0 答案 A
解析 由题意，知在区间[a，b]上，有m≤f(x)≤M，当M＝m时，今M＝m＝C，则必有f(x)＝C，∴f′(x)＝C′＝0.故选A.
知识点二 求函数的最值
3.函数f(x)＝x－3x(|x|<1)( ) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 答案 D
解析 f′(x)＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
23
B．大于0 D．以上都有可能
?π?4．函数y＝x－sinx，x∈?，π?的最大值是( )
?2?
A．π－1 C．π 答案 C
解析 因为y′＝1－cosx，当x∈?
π
B.－1 2D．π＋1
?π，π?时，?π?y′>0，则函数y＝x－sinx在区间?，π???2??2?
- 1 -
上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，故选C.
知识点三 含参数的函数的最值问题
3293
5.若函数y＝x＋x＋m在[－2,1]上的最大值为，则m等于( )
22A．0 C．2 答案 C
解析 y′＝3x＋3x＝3x(x＋1)， 令y′＝0，得x＝0或x＝－1. 1
因为f(0)＝m，f(－1)＝m＋，
2
5559
又f(1)＝m＋，f(－2)＝m－2，所以f(1)＝m＋最大，所以m＋＝，所以m＝2.故选
2222C.
232
6．已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
3(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x) 1?2?44 因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′?－?＝－a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2， 2?3?33所以f′(x)＝3x－x－2＝(3x＋2)(x－1)， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表： 22 3 2 2 2 B．1 5 D. 2 x f′(x) f(x) 2???2?所以函数f(x)的递增区间为?－∞，－?和(1，＋∞)；递减区间为?－，1?. 3???3?122?2?223 (2)由(1)知，f(x)＝x－x－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－时，f?－?＝＋c为极大 23?3?27值， ?－∞，－2? ?3???＋ 单调递增 2－ 30 极大值 ?－2，1? ?3???－ 单调递减 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ 单调递增 - 2 - 因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值． 要使f(x) 2 2 一、选择题 1 1．函数f(x)＝x－x在区间[0，＋∞)上( ) 2A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．无最大值，有最小值 答案 A 解析 由已知得f(x)的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝ 1 －，令f′(x)>0，得f(x)的2x21 单调递增区间为[0,1)；令f′(x)<0，得f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)．所以f(x)在区间[0，＋∞)上有最大值，无最小值． 2．函数y＝xe，x∈[0,4]的最大值是( ) 142 A．0 B. C.4 D.2 eee答案 B 解析 y′＝e－x·e＝e(1－x)，令y′＝0， 41－1 ∴x＝1.∵f(0)＝0，f(4)＝4，f(1)＝e＝， ee∴f(1)为最大值．故选B. 3．已知函数f(x)＝2x－6x＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( ) A．－37 C．－5 答案 A 解析 ∵f′(x)＝6x－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37. 4．已知函数f(x)＝ae－x－(2a＋1)x，若函数f(x)在区间(0，ln 2)上有最值，则实数 x2 23 2 －x－x－x－xB．－29 D．－11 a的取值范围是( ) - 3 - A．(－∞，－1) C．(－2，－1) 答案 A B．(－1,0) D．(－∞，0)∪(0,1) 解析 f′(x)＝ae－2x－(2a＋1)，令g(x)＝f′(x)，∵函数f(x)在区间(0，ln 2)上有最值，∴g(x)在区间(0，ln 2)上单调且存在零点，∴g(0)g(ln 2)<0，即(－a－1)(－2ln 2－1)<0，可得a＋1<0，解得a<－1，此时g′(x)＝ae－2在区间(0，ln 2)上恒小于0，∴g(x)在区间(0，ln 2)上单调递减且存在零点，∴实数a的取值范围是(－∞，－1)． xx?1?5．已知(a＋1)x－1－ln x≤0对任意x∈?，2?恒成立，则实数a的最大值为( ) ?2? A．0 C．1－2ln 2 答案 C 解析 原问题等价于a＋1≤ ln x＋1ln x＋1?1?对任意x∈?，1?恒成立，令h(x)＝，则h′(x)xx?2? B．1 －1＋ln 2 D. 2 ln x?1?＝－2，令h′(x)＝0，得x＝1，且当x∈?，1?时，h′(x)＞0，当x∈(1,2]时，h′(x)x?2? ??1???1?＜0，所以函数h(x)在?，1?上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以最小值为min?h??，h?2?? ?2???2?? 1??＝h??＝2－2ln 2，所以a≤2－2ln 2－1＝1－2ln 2，选C. ?2? 二、填空题 6．函数f(x)＝答案 2 －2 4?x＋1?－2x·4x－4x＋4 解析 ∵y′＝＝2222， ?x＋1??x＋1?令y′＝0，可得x＝1或－1. 88 又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，∴最大值为2，最小值为－2. 557．若F(x)＝x－2ln x＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是________． 答案 2－2ln 2＋2a 2x－2 解析 令F′(x)＝1－＝＝0得x＝2. 2 2 4x，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________． x＋1 2 xx当x∈(0,2)时F′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，F′(x)>0， ∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln 2＋2a. 8．已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切 - 4 - 3 2
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