线斜率均为－1，有以下命题：
①f(x)的解析式为f(x)＝x－4x，x∈[－2,2]； ②f(x)的极值点有且仅有一个； ③f(x)的最大值与最小值之和等于零． 其中正确的命题个数为________． 答案 2
解析 因为曲线过原点，所以c＝0，又在x＝±1处的切线斜率为－1，所以有
??3＋2a＋b＝－1，???3－2a＋b＝－1，
3
??a＝0，
解得?
??b＝－4，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x－4x，x∈[－2,2]，故
3
23??23??2
①正确；又f′(x)＝3x－4，则函数在?－2，－?和?，2?上单调递增，在x∈
3??3??
?2323?
?－，?上单调递减，所以函数的极值点有两个，故②不正确；因为f(－2)＝0，f(2)
3??3
163?23?163?23?
＝0，f?－?＝9，f??＝－9，所以函数f(x)的最大值与最小值之和等于零，故
?3??3?③正确．所以正确命题的个数为2.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax＋x＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数． (1)求f(x)的表达式；
(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解 (1)∵f′(x)＝3ax＋2x＋b，
∴g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax＋(3a＋1)x＋(b＋2)x＋b. ∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)， 1
从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，
3132
因此f(x)的表达式为f(x)＝－x＋x.
3
132
(2)由(1)知g(x)＝－x＋2x，∴g′(x)＝－x＋2，
3令g′(x)＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝2， 5424
而g(1)＝，g(2)＝，g(2)＝，
333
424
因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)＝，最小值为g(2)＝.
3310．已知函数f(x)＝ln x＋.
3
2
23
2
ax - 5 -
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
3
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
2解 函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)， 1ax－af′(x)＝－2＝2，
xxx(1)∵a<0，∴f′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，3
e]上的最小值是相矛盾；
2
3
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相2矛盾；
③当1
axf(x)单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝e；
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)<0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，3
这与最小值是相矛盾；
2
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小
e3
值是相矛盾．
2
综上所述，a的值为e.
32
a - 6 -
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