1.2.1 任意角的三角函数(二)
学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
知识点一 三角函数的定义域
π
思考 正切函数y＝tan x为什么规定x∈R且x≠kπ＋，k∈Z?
2
πyP
答案 当x＝kπ＋，k∈Z时，角x的终边在y轴上，此时任取终边上一点P(0，yP)，因为无意义，因而x
20π
的正切值不存在.所以对正切函数y＝tan x，必须要求x∈R且x≠kπ＋，k∈Z.
2
梳理 正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是{x|x∈Rπ
且x≠kπ＋，k∈Z}.
2知识点二 三角函数线
思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？
答案 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT. 思考2 三角函数线的方向是如何规定的？
答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值. 思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？
答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负. 梳理
图示 正弦线 角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线 余弦线 有向线段OM即为余弦线 过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它正切线 与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线
类型一 三角函数线
5π
例1 作出－的正弦线、余弦线和正切线.
8解 如图所示，
sin?－cos?－tan?－
?5π?＝MP，
??8??5π?＝OM，
??8??5π?＝AT.
??8?
反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.
(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT. 1
跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合.
2
11?1?解 已知角α的正弦值，可知MP＝，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点?0，?，过这点作x轴的平行线，22?2?交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为{α|α＝2kπ＋k∈Z}.
π5π
或α＝2kπ＋，66
类型二 利用三角函数线比较大小
2π4π2π4π2π4π
例2 利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小.
353535
2π2π2π4π4π4π
解 如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
333555
显然|MP|>|M′P′|，符号皆正， ∴sin
2π4π>sin； 35
2π4π
>cos； 352π4π |OM|<|OM′|，符号皆负，∴cos|AT|>|AT′|，符号皆负，∴tan 反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负. 跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小. 解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°， sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°. 如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M1P1，M2P2. ∵M1P1>M2P2，且符号皆正， ∴sin 1 155°>sin(－1 654°). 类型三 利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1 利用三角函数线解不等式?组? 例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥31 ； (2)cos α≤－. 22 3 交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，2 解 (1)作直线y＝ 包括边界)，即为角α的终边的范围. 故满足要求的角α的集合为{α|2kπ＋ π2π≤α≤2kπ＋，k∈Z}. 33 1 (2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包 2括边界)，即为角α的终边的范围. 故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋ 2π4π≤α≤2kπ＋，k∈Z}. 33 反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间. 13 跟踪训练3 已知－≤cos θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围. 22解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即 2ππ2 {θ|2kπ－π≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋π，k∈Z}. 3663命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 例4 求下列函数的定义域. (1)y＝2sin x－3； (2)y＝lg(sin x－ 2 )＋1－2cos x. 2 解 (1)自变量x应满足2sin x－3≥0， 即sin x≥ 3. 2 π2π ≤x≤2kπ＋，k∈Z}. 33 图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即{x|2kπ＋ 1－2cos x≥0，?? (2)由题意知，自变量x应满足不等式组?2 sin x－>0，?2? ?? 即? 2 sin x>.??2 1cos x≤， 2 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
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