8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是( ) A．4 B．3 C．2
D．1
解析：两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1， O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，
圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4， ∴|O1O2|＝?2＋2?2＋?5－2?2＝5，r1＋r2＝5. ∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线． 答案：B
9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是( ) A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0 C．x＋2y－3＝0
D．x－2y＋3＝0
解析：依题意知，直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2， ∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 答案：A
10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( A．9π B．π
C．2π D．由m的值而定
解析：∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0， ∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2. ∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|. 依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1. ∴圆的面积S＝π×12＝π. 答案：B
11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是( ) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1
D．(2x＋3)2＋4y2＝1
解析：设P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段PQ中点M的坐标为(x，y)， 则x＝x1＋32，y＝y1
2，∴x1＝2x－3，y1＝2y.
又点P(x1，y1)在圆x2＋y2＝1上， ∴(2x－3)2＋4y2＝1.
故线段PQ中点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1. 答案：C
) 12．曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( ) 5
A．(0，)
1213C．(，]
34
5
B．(，＋∞)
1253D．(，]
124
解析：如图所示，曲线y＝1＋4－x2
变形为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)， 直线y＝k(x－2)＋4过定点(2,4)， 当直线l与半圆相切时，有 |－2k＋4－1|5
＝2，解得k＝.
12k2＋13
当直线l过点(－2,1)时，k＝. 453
因此，k的取值范围是 124答案：D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上) 13．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________． 解析：圆心(0,0)到直线3x＋4y－25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4. 答案：4 14．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________． |1＋1－4| 解析：r＝＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 2答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2 15．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，①关于直线y＝x对称；②关于直线x＋y＝0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________． 解析：已知方程配方得，(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)，圆心坐标为(－a，a)，它在直线x＋y＝0上，∴已知圆关于直线x＋y＝0对称．故②正确． 答案：② 16．直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于__________． 解析：由x2＋y2－6x－2y－15＝0， 得(x－3)2＋(y－1)2＝25. |3＋2×1| 圆心(3,1)到直线x＋2y＝0的距离d＝＝5.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由 5勾股定理得，弦长＝2×25－5＝45. 答案：45 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程． yy 解：解法1：连接OP，则OP⊥BC，设P(x，y)，当x≠0时，kOP·kAP＝－1，即·＝－1， xx－4即x2＋y2－4x＝0① 当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解， ∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)． 1 解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2，由圆的定义知，P点轨迹方 2程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆． 故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)． 18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标． 解：由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)． 两圆的方程相减得直线AB的方程为 2(m＋1)x－2y－m2－1＝0. ∵A，B两点平分圆N的圆周， ∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)， ∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0， 解得m＝－1. 故圆M的圆心M(－1，－2)． 19．(12分)已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长． 22??x＋y－3x－3y＋3＝0 解：设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点的坐标是方程组?22的解， ?x＋y－2x－2y＝0? 两方程相减得：x＋y－3＝0， ∵A、B两点的坐标都满足该方程， ∴x＋y－3＝0为所求． 将圆C2的方程化为标准形式， (x－1)2＋(y－1)2＝2， ∴圆心C2(1,1)，半径r＝2. |1＋1－3|1 圆心C2到直线AB的距离d＝＝， 22|AB|＝2r2－d2＝2 1 2－＝6. 2 即两圆的公共弦长为6. 20．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值． 解：如图：PM为圆C的切线，则CM⊥PM，∴△PMC为直角三角形，∴|PM|2＝|PC|2－|MC|2. 设P(x，y)，C(－1,2)，|MC|＝2. ∵|PM|＝|PO|， ∴x2＋y2＝(x＋1)2＋(y－2)2－2， 化简得点P的轨迹方程为：2x－4y＋3＝0. 求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，代入点到直线的距离35 公式可求得|PM|最小值为. 10 21．(12分)已知⊙C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上动点，求d＝|PA|2＋|PB|2 的最大、最小值及对应的P点坐标． 解：设点P的坐标为(x0，y0)，则 d＝(x0＋1)2＋y02＋(x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2. 欲求d的最大、最小值，只需求u＝x02＋y02的最大、最小值，即求⊙C上的点到原点距离的平方的最大、最小值． 作直线OC，设其交⊙C于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 如图所示．
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