第2讲 空间中的平行与垂直
[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档．
热点一 空间线面位置关系的判定 空间线面位置关系判断的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．
例1 (1)(2018·宁波模拟)已知直线l，m与平面α，β，l?α，m?β，则下列命题中正确的是( )
A．若l∥m，则必有α∥β B．若l⊥m，则必有α⊥β C．若l⊥β，则必有α⊥β D．若α⊥β，则必有m⊥α 答案 C
解析 对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B，平面α和平面β还有可能相交且不垂直或平行，所以选项B错误；对于选项C，因为l?α，l⊥β，所以α⊥β，所以选项C正确；对于选项D，直线m可能和平面α平行或相交，所以选项D错误．
(2)如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D?直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是( )
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A．当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合
B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交 D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行 答案 B
解析 由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此AC∥BD，而BD?β，
AC?B，所以由线面平行的判定定理可得AC∥β，又因为AC?α，α∩β＝l，所以由线面平
行的性质定理可得AC∥l，故选B.
思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．
跟踪演练1 (1)(2018·湖州、衢州、丽水质检)设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若α⊥β，l∥α，则l⊥β B．若l∥α，l∥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若l⊥α，l⊥β，则α∥β 答案 D
解析 A中，直线与平面可能相交、可能平行，也可能直线在平面内，故A错误；B中，两平面可能平行，也可能相交，故B错误；C中，根据线面平行、线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可判断出两平面垂直，故C错误；D中，由线面垂直的性质和面面平行的判定定理可以判断出两平面平行，故D正确，故选D.
(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是
2
A．l与l1，l2都相交 B．l与l1，l2都不相交 C．l至少与l1，l2中的一条相交 D．l至多与l1，l2中的一条相交 答案 C
解析 方法一 如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故D不正确，故选C.
方法二 因为l分别与l1，l2共面，故l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，与l1，l2是异面直线矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交，故选C. 热点二 空间平行、垂直关系的证明
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
例2 (1)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，AA1⊥平面ABC，E，F分别为棱A1B1，BC的中点．
①求证：直线BE∥平面A1FC1；
②平面A1FC1与直线AB交于点M，指出点M的位置，说明理由，并求三棱锥B－EFM的体积． ①证明 取A1C1的中点G，
3
连接EG，FG，
因为点E为A1B1的中点， 所以EG∥B1C1 1
且EG＝B1C1，
2因为F为BC的中点， 1
所以BF∥B1C1且BF＝B1C1，
2所以BF∥EG且BF＝EG.
所以四边形BFGE是平行四边形，所以BE∥FG， 又BE?平面A1FC1，FG?平面A1FC1， 所以直线BE∥平面A1FC1. ②解 M为棱AB的中点．
理由如下：
因为AC∥A1C1，AC?平面A1FC1，A1C1?平面A1FC1， 所以直线AC∥平面A1FC1，
又平面A1FC1∩平面ABC＝FM，所以AC∥FM. 又F为棱BC的中点，所以M为棱AB的中点．
S△BFM＝S△ABC＝××2×2×sin 60°＝1411423， 4
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所以三棱锥B－EFM的体积VB－EFM＝VE－BFM＝××2＝.
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(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，
PD＝2a，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
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