1
(1)证明 因为AE＝2，所以AE＝4，
2又AB＝2，AB⊥PE，
所以BE＝AB＋AE＝2＋4＝25， 1
又因为AC＝5＝BE，
2
所以AC是Rt△ABE的斜边BE上的中线， 所以C是BE的中点， 又因为D是AE的中点，
所以CD是Rt△ABE的中位线，所以CD∥AB， 又因为CD?平面PAB，AB?平面PAB， 所以CD∥平面PAB.
(2)解 由(1)知，直线CD是Rt△ABE的中位线， 1
所以CD＝AB＝1，
2
因为二面角P－AB－E是直二面角，平面PAB∩平面EAB＝AB，PA?平面PAB，PA⊥AB， 所以PA⊥平面ABE，又因为AP＝2， 11
所以VE－PAC＝VP－ACE＝××AE×CD×AP
32114＝××4×1×2＝. 323
2
2
2
2
真题体验
1．(2017·全国Ⅰ改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是________．(填序号)
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答案 (1)
解析 对于(1)，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交， ∴直线AB与平面MNQ相交； 对于(2)，作如图②所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，
又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
对于(3)，作如图③所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，
又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ； 对于(4)，作如图④所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥NQ，
∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ.
2．(2017·江苏)如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，
F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
10
求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD， 所以AB∥EF.又EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD.
因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，
BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC.
又AC?平面ABC，所以AD⊥AC. 押题预测
1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是( ) A．m⊥n?m⊥β C．α∥β?m∥β
B．m⊥n?α⊥β D．m∥n?α∥β
押题依据 空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点．此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力． 答案 C
解析 构造长方体，如图所示．
因为A1C1⊥AA1，A1C1?平面AA1C1C，AA1?平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C 11
与平面AA1B1B也不垂直，所以选项A，B都是假命题．
CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题．
“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C. 2．如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．
(1)求证：A1E⊥FP；
(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
押题依据 以平面图形的翻折为背景，探索空间直线与平面位置关系，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题方向． (1)证明 在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示．
因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形． 又AE＝DE，所以EF⊥AD. 所以在题图(2)中，A1E⊥EF，
又A1E?平面A1EF，平面A1EF⊥平面BEFC， 且平面A1EF∩平面BEFC＝EF， 所以A1E⊥平面BEFC.
因为FP?平面BEFC，所以A1E⊥FP.
(2)解 在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行． 理由如下：
如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，
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