最新2019版高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直学案（考试专用）

过点O作OP∥BC1，交CC1于点P， 连接AP，则AO⊥平面BCC1B1， 又B1C?平面BCC1B1， ∴AO⊥B1C，

又BC1∥OP，BC1⊥B1C， ∴B1C⊥OP，

又AO∩OP＝O，AO，OP?平面AOP， ∴B1C⊥平面AOP，

又平面AMN与平面AOP有公共点A， ∴B1C与平面AMN不垂直，p3错误；

对于p4：如图④所示， 连接BC1，AC1，则MN∥BC1，

∴∠ABC1是异面直线AB与MN所成的角， 设AB＝1，则AC1＝BC1＝2，

?2?＋1－?2?2

∴cos∠ABC1＝＝，p4正确．

42×2×1综上，其中正确的结论是p2，p4.

13．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝0.6，则当E，F移动时，下列结论中错误的是( )

2

2

2

A．AE∥平面C1BD

B．四面体ACEF的体积为定值 C．三棱锥A－BEF的体积为定值

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D．异面直线AF，BE所成的角为定值 答案 D

解析 由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面C1BD，又因为AE?平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确；因为△CEF的面积为定值，且点A到平面CEF的距离即为点A到平面CD1B1的距离，其为定值，所以四面体ACEF的体积为定值，B正确；因为△BEF的面积为定值，且点A到平面BEF的距离即为点A到平面BDD1B1的距离，其为定值，所以三棱锥A－BEF的体积为定值，C正确；延长DB至点G，使得BG＝EF，连接FG，则易得FG∥BE，所以∠AFG为异面直线AF，

BE所成的角，由图易得当点F在线段B1D1上运动时，∠AFG不是定值，所以异面直线AF，BE所成的角不是定值，D错误．综上所述，故选D.

14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝CD＝DA＝2，动点M在边DC上(不同于D点)，P为边AB上任意一点，沿AM将△ADM翻折成△AD′M，当平面AD′M垂直于平面ABC时，线段PD′长度的最小值为________．

答案

15

2

解析 设点D′在平面ABCD内的投影为点F，∠DAM＝θ，则易得θ∈(0°，60°]，当θ∈(0°，30°)时，点F在△ADC外，过点F作AB的垂线，垂足在线段BA的延长线上，所以此时当点P与点A重合时，PD′取得的最小值等于AD′＝AD＝2；当θ∈[30°，60°]时，点F在△ADC内(包括外界)，过点F作AB的垂线FG，垂足G在线段BA上，所以当点P与垂足G重合时，PD′取得最小值，此时有PD′⊥AB.在Rt△D′AP中，因为AD′＝AD＝2，所以当PD′取得最小值时，cos∠D′AP取得最大值．由最小角定理得cos∠D′AP＝cos 133?1?2

θ·cos(120°－θ)＝cos θ·?－cos θ＋sin θ?＝－cosθ＋sin θcos θ

222?2?13111

＝－cos 2θ＋sin 2θ－＝cos(2θ－120°)－，

444241易得当θ＝60°时，cos∠D′AP取得最大值，

4

11515

所以此时AP＝，PD′＝D′A2－AP2＝.综上所述，PD′长度的最小值为.

222

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110

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