难点突破
7.(10分)[2017·武汉二模] 已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|-|x-b|+c的最大值为10. (1)求a+b+c的值;
(2)求(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2
的最小值,并求出此时a,b,c的值.
8.(10分)[2017·昆明模拟] 已知a,b,c,m,n,p都是实数,且a2
+b2
+c2
=1,m2
+n2
+p2
=1. (1)证明:|am+bn+cp|≤1;
(2)若abc≠0,证明:++≥1.
课时作业(六十七)
1. 解:(1)(x-)2
+(y+1)2
=9可化为x2
+y2
-2
x+2y-5=0,
故圆C的极坐标方程为ρ2
-2
ρcos θ+2ρsin θ-5=0.
(2)将θ=代入ρ2
-2
ρcos θ+2ρsin θ-5=0,得ρ2
-2ρ-5=0.设M,N,
∴ρ1+ρ2=2,ρ1ρ2=-5, ∴|MN|=|ρ1-ρ2|==2.
2. 解:(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入曲线C的极坐标方程,得x2+y2
-4x-2y+4=0,即
(x-2)2
+(y-)2
=3.
9
故曲线C的直角坐标方程为(x-2)+(y-2
)=3.
2
(2)直线l的极坐标方程是θ=(ρ∈R),代入曲线C的极坐标方程,得ρ-5ρ+4=0,所以ρAρB=4, 所以|OA|·|OB|=|ρAρB|=4.
3. 解:(1)(x-2)+y=4可化为x+y-4x=0,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,可得曲线C1的极坐标方程为2
2
2
2
2
ρ=4cos θ.
设Q(ρ,θ),则P,则有ρ=4cos=4sin θ,
所以曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin θ.
(2)M到射线θ=(ρ>0)的距离为d=2sin=,
|AB|=|ρB-ρA|=4=2-2,
则S△MAB= |AB|·d=3-.
4. 解:(1)依题意,将代入x2+y2+2x-4=0,可得ρ2
+2ρcos θ-4=0.
将代入y2=x,化简得ρsin2
θ=cos θ.
故曲线C2
cos θ-4=0,曲线C2
1的极坐标方程为ρ+2ρ2的极坐标方程为ρsinθ=cos θ. (2)将y2
=x代入x2
+y2
+2x-4=0,得x2
+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去), 当x=1时,y=±1,∴C1与C2交点的直角坐标为A(1,1),B(1,-1),
∵ρA==,ρB==,tan θA=1,tan θB=-1,
∴θA=,θB=,故A,B.
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5. 解:(1)∵在极坐标系中,点M的坐标为,
∴x=3cos=0,y=3sin=3, ∴点M的直角坐标为(0,3), ∴直线l的方程为y=-x+3.
由ρ=2sin,得ρ2
=2ρsin θ+2ρcos θ,
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0,
即(x-1)2
+(y-1)2
=2.
(2)圆心(1,1)到直线y=-x+3的距离d==,
∴圆上的点到直线l距离的最大值为d+R=,
而|AB|=2=2×=,
∴△PAB面积的最大值为××=.
6. 解:(1)曲线C2
1的直角坐标方程为+y=1, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,
得曲线C1的极坐标方程为ρ2
=.
∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin,
11
即ρ=4sin θcos+4cos θsin,
即ρ2
=2ρsin θ+2
ρcos θ,
把x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2
=x2
+y2
代入, 得x2
+y2
=2y+2
x,
∴曲线C2的直角坐标方程为(x-)2+(y-1)2=4.
(2)曲线C2是圆心为(,1),半径为2的圆,
∴射线OM的极坐标方程为θ=(ρ≥0),
代入ρ2
=,可得=2.
又∠AOB=,∴=,
∴|AB|===.
7. 解:(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2
=x2
+y2
分别代入曲线C1,C2的直角坐标方程,得C21:ρ2+ρsin2θ-2=0,C2:ρ=2sin θ,
故C2
1的极坐标方程为ρ=,
C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(2)将θ=α(ρ≥0)代入C2
1的极坐标方程得|OA|=,
将θ=α(ρ≥0)代入C2
2
2的极坐标方程得|OB|=4sinα,
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