点评： 本题考查求数列的通项，考查求数列和的范围，注意解题方法的积累，属于中档题． 2
20．（14分）（2015?余姚市三模）已知函数f（x）=x+|x+1﹣a|，其中a为实常数 （Ⅰ）判断f（x）在上的单调性
（Ⅱ）若存在x∈R，使不等式f（x）≤2|x﹣a|成立，求a的取值范围． 考点： 函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义． 专题： 分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析： （Ⅰ）去掉绝对值，讨论函数f（x）的单调性，从而得出f（x）在上的单调性； （Ⅱ）根据题意，讨论x的取值，把不等式f（x）≤2|x﹣a|去掉绝对值，求出使不等式有解的a的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）2=x+|x+1﹣a|=，
其中a为实常数； ∴当x≥a﹣1时，f（x）2=x+x+1﹣a，它的图象是抛物线的一部分， 对称轴是x=﹣， 若a≤，则a﹣1≤﹣， ∴在x≥﹣时，f（x）是增函数， ∴f（x）在上单调递增； 若＞a＞， 则＞a﹣＞﹣， ∴f（x）在上是增函数； 当x＜a﹣1时，f（x）=x﹣x﹣1+a，它的图象是抛物线的一部分， 对称轴是x=， 若a≥，则a﹣1≥， ∴在x≤时，2
f（x）是减函数， ∴f（x）在上单调递减； 若＞a＞， 则＞a﹣＞﹣， ∴f（x）在上是减函数； 综上，a≤时，f（x）在上是增函数； ＞a＞时，f（x）在上是增函数，在上是减函数； a≥时，f（x）在上是减函数； （Ⅱ）∵存在x∈R，使不等式f（x）≤2|x﹣a|成立， 2∴x+|x+1﹣a|≤2|x﹣a|； 当x≥a时，2x+x+1﹣a≤2x﹣2a， 2即x﹣x+a+1≤0， ∴△=1﹣4（a+1）≥0， 解得a≤﹣； 当a＞x＞a﹣1时， x+x+1﹣a≤﹣2x+2a，
2即x+3x+1﹣3a≤0， ∴△=9﹣4（1﹣3a）≥0， 解得a≥﹣； 当x≤a﹣1时， 2x﹣x﹣1+a≤﹣2x+2a， 2即x+x﹣1﹣a≤0， ∴△=1﹣4（﹣1﹣a）≥0， 解得a≥﹣； 综上，x≥a时，a的取值范围是a≤﹣； a＞x＞a﹣1时，a的取值范围是a≥﹣； x≤a﹣1时，a的取值范围是a≥﹣． 点评： 本题考查了含有绝对值的函数与不等式的应用问题，解题时应先去掉绝对值，再讨论函数的性质与解不等式，是较难的题目． 2
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