线性代数学习指导
第一章 行列式
一、余子式与代数余子式
1.元素aij的余子式：Mij(本质是个实数或者代数式)
定义：划去元素aij所在的第i和第j列的所有元素后，剩下的元素位置不变
所构成的新行列式
2.元素aij的代数余子式：Aij(本质是个实数或者代数式) 关系：Aij?(?1)i?jMij(两者要么相等，要么相反)
二、关于行列式的计算 方法一：对角线法(沙路法)
使用对象：二、三阶行列式
方法二：行列展开法
使用对象：任意阶行列式
?n??aijAij?j?1公式：D??n?aA?ijij??i?1(按照第i行展开)
(按照第j列展开)(注：实际计算中的两种常用方法。
方法一：按照行列式的性质化简后，尽量化为上三角行列式；
方法二：经过适当的化简后，接近上三角行列式，然后选择0元素最多的行或者列展开。)
三、行列式的性质
性质1：行列式与其转置行列式行列(互换后的行列式)相等(D?D?D?)
性质2：任意交换行列式的两行(列)，行列式的值变号
推论：行列式中若有两行(列)元素对应相同，则行列式的值为0
性质3：若行列式中某一行(列)有共同因子k，可以将该因子k提取到行列式符号前面
Ta11a12??a1na11a12?ai2???a1n???ain
????? D?kai1kai2??kain?kai1????an1an2??annan1an2??annn(对比：若A是n阶方阵，则kA?kA)
性质4：行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则行列式的值为0
性质5：(拆分性质)行列式可以按行(列)拆开
a11a12??a1na11a12?bi2???a1na11a12??a1nci2??cin??ai2??ain????D?bi1?ci1bi2?ci2??bin?cin?bi1?an1?an2???ann????bin?ci1??an1an1an2??ann性质6：(放大平移不变性质)
把行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以同一个数k以后加到另一行(列) 的对应元素上去，行列式D的值不变
a11? D?ai1?a12?ai2???a1n???ain??a11?kai1a12?kai2??a1n?kain?ai1?an1?ai2?an2?????ain?ann
an1an2??ann
三、特殊行列式的值 1．上三角行列式
(第i行的k倍加到第1行,行列式的值不变)
a110 D?0?0a11a21 D?a31?an1a110 D?0?03．对角行列式
a12a220?00a22a32?an20a220?0a13?a1na23?anna33?a3n?a11a22a33?ann
?00?ann?000?a11a22a33?ann ?an3?ann0?000?a11a22a33?ann ?0?ann2．下三角行列式
0?a33?0?a33?四、几个行列式的关系(常考考点)
如A,B为n阶方阵，则
?n(1)kA?kA???(4)A*?An?1?(2)AT?A(5)AB?AB(3)A?1?1A
五、克拉默法则
含有n个方程的n元线性方程组的一般形式为
?a11x1?a12x2??a1nxn?b1?ax?ax??ax?b?2112222nn2 ?(1)，它的系数构成的阶行列式 (实质：An?nXn?b)
??????????????an1x1?an2x2??annxn?bna11D?a21?an1a12?an2?a1n?annCramer法则)如果n个方程的n元线性方程组(1)的系数行列式
称为方程组(1)的系数行列式
a22?a2n定理(克拉默
D?aij?0，则方程组必有唯一解：xj?nDjD,j?1,2?n,
a11?a1,j?1?其中Dj?ai1b1?bi?a1,j?1?a1n??ai,j?1?ain,j?1,2,?n ??an,j?1?ann??ai,j?1??an1?an,j?1bn六、齐次线性方程组及其解
(其实就是用方程组右边的常数列来代替系数行列式中的第j列元素)
方程组(1)中的常数b1?b2??bn?0，这时对应的方程组为
?a11x1?a12x2??a1nxn?0?ax?ax??ax?0?2112222nn(2) ,称为齐次线性方程组 (实质：An?nXn?0) ???????????????an1x1?an2x2??annxn?0
结论：若此时系数行列式D?aijn?0，则方程组(2)只有零解： x1?x2??xn?0
(此时R(A)?R(A)?n, 故有唯一解(即零解) ); 若D?aijn?0时，则它有无穷多个解，必有非零解)
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