20．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC． （1）求证：MN是⊙O的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F． ①求证：FD＝FG．
②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）设a、b是方程x+x﹣2021＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 ． 22．（4分）在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有 个．
23．（4分）已知一列数a1，a2，…，an（n为正整数）满足a1＝1，a2＝
＝，…，an2
＝，请通过计算推算a2019＝ ，an＝ ．（用含n的代数式表示）
24．（4分）如图，点A在双曲线y＝（k≠0）的第一象限的分支上，AB垂直x轴于点B，点C在x轴正半轴上，OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，连接CD，若△CDE的面积为1，则k的值为 ．
25．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是A边上一点，且AE＝
，点F是
5
边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形
AGCD的面积的最小值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（10分）为建设天府新区“公园城市”，实现城市生活垃圾减量化、资源化、无害化的目标．近日，成都市天府新区计划在各社区试点实施生活垃圾分类处理活动，取得市民积极响应．某创业公司发现这一商机，研发生产了一种新型家庭垃圾分类桶，并投入市场试营销售．已知该新型垃圾桶成本为每个40元，市场调查发现，该垃圾桶每件售价y（元）与每天的销售量为x（个）的关系如图．为推广新产品及考虑每件利润因素，公司计划每天的销售量不低于1000件且不高于2000件．
（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（个）的函数关系式； （2）设该公司日销售利润为W（元），求每天的最大销售利润是多少元？
27．（12分）已知，在△ABC和△EFC中，∠ABC＝∠EFC＝90°，点E在△ABC内，且∠CAE+∠CBE＝90°
（1）如图1，当△ABC和△EFC均为等腰直角三角形时，连接BF， ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE＝2，AE＝4，求EF的长；
（2）如图2，当△ABC和△EFC均为一般直角三角形时，若
＝k，BE＝1，AE＝3，
6
CE＝4，求k的值．
2
28．（14分）已知，如图，抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．
（2）在抛物线上A，M两点之间的部分（不包含A，M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）上下平移直线AB，设平移后的直线与抛物线交与A′，B′两点（A′在左边，B'在右边），且与y轴交与点P（0，n），若∠A′MB′＝90°，求n的值．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列是一元二次方程的是（ ） A．x﹣2x﹣3＝0
2
B．x﹣2y+1＝0 C．2x+3＝0 D．x+2y﹣10＝0
2
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案． 【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项正确；
B、是二元一次方程，故此选项错误； C、是一元一次方程，故此选项错误； D、是二元二次方程，故此选项错误；
故选：A．
2．（3分）一个由半球和圆柱组成的几何体如图水平放置，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形作答． 【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故选：A．
3．（3分）菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（ ） A．10
B．20
C．24
D．48
【分析】由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
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