衡水中学2016届高三下学期一调考试（理）数学试题

过O点作OH?BC于点H，连接AH 由(1)知，AO?平面BOC

''?B'C?平面B'OC，?B'C?AO

'?AO?OH?O?B'C?平面AOH,?BC?AH，

所以?AHO即为二面角A?BC?O的平面角 在Rt?AOH中，AO?2,OH?'2 2?AH?32OH1,?cos?AHO?? 2AH3'(3)存在，且为线段AB的中点，以O为坐标原点，建立，如图所示的空间直角坐标系

????????????????????设AP??AB???2?,0,??，CP?CA?AP??2?2?,?1,?? ??又平面BOA的一个法向量为m??0,1,0?

??????CP?m212??????20?2?32??11?0 ?????CP?m35?2?8??53'

解得：??1?11????1,舍去?? 2?10?220.(1)由已知可得b?2,a??2b?2?8

x2y2??1； 所以所求椭圆方程为8422x0y0??1 (2)设点P?x0,y0?,PM的中点坐标为Q?x,y?，即849

0?x00?y0x22,y???y?1??1； 由x?，得x0?2x,y0?2y，代入上式，得222(3)若直线AB的斜率存在，设AB方程为y?kx?m，依题意m??2

?x2y2?1??设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由?8??1?2k2?x2?4kmx?2m2?8?0 4?y?kx?m?4km2m2?8y1?2y2?2x1?x2?,xx?，由已知??8 121?2k21?2k2x1x2所以

kx1?m?2kx2?m?2x?x??8，即2k??m?2?12?8

x1x2x1x2km1?4?m?k?2 m?22所以k?故直线AB的方程为y?kx?11??k?2,即y?k?x???2 22????所以直线AB过定点??,?2?；

若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x?x

''''设Ax,y,Bx,?y

?1?2'????y'?2?y'?21'??8?x??由已知 x'x'2此时AB方程为x??1?1?，显然过点??,?2? 2?2?综上，直线AB过定点??,?2?.

?1?2??exex'?x?lnx?1?,?F?x??2?x?1??lnx 21.(1) F?x??xx?F?x?在区间?0,1?上单调递减，在区间?1,???上单调递增，

所以极小值为F?1??e?1，无极大值； (2)构造函数h?x??f?x??g?x??e?lnx?2

x10

1?h?x??ex?在区间?0,???上单调递增

x?1??1??h???e?2?0,h'?ln2??0，?h'?x?在区间?0,???上有唯一零点x0??,ln2?

?2??2??ex0?1，即x0??lnx0，由h?x?的单调性 x0x有h?x??h?x0??e0?lnx0?2?1?x0?2 x0构造函数??t??t??2在去甲?0,ln2?上单调递减

1t11?1??x0??,ln2?,???x0???ln2?2?

ln210?2?即h?x0??111?f?x??g?x??. ，?h?x??10101022.(1)设AD交圆O2于点E，连接BD,CE 因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上， 所以AD,AE分别是圆O1与圆O2的直径 所以?ABD??ACE??2,?BD?CE

?ACAE2?? ABAD3(2)若BC?3，由⑴的结果可知，AB?33，面AD?6,?在Rt?ABD中，?A?30?，又由AO2?2，得O2到弦AB的距离为1.

?x?2cos?x2?y2?1 23.(1)将曲线C:?，化为普通方程，得4?y?sin?当???3，设点M对应的参数为t0

1?x?2?t?2?直线l的参数方程为?（t为参数）

?y?3?3t??2x2?y2?1 代入曲线C的普通方程411

即13t?56t?48?0

设直线l上的点A,B对应的参数分别为t1,t2 则t0?2t1?t228?? 213所以点M的坐标为???12?13,?3?； ??13??x2?x?2?tcos??y2?1 (2)将l:?代入曲线C的普通方程4??y?3?tsin?得cos??4sin?t?83sin??4cos?t?12?0 因为PA?PB?t1t2??22?2??1252?7tan??，得 22cos??4sin?16由于??32cos?23sin??cos??0

??故tan??55，所以直线l的斜率为. 4424.(1)因为f?x??x?a?x?b?c??x?a???x?b??c?a?b?c 当且仅当?a?x?b时，等号成立

又a?0,b?0所以a?b?a?b，所以f?x?的最小值为4，所以a?b?c?4； (2)由(1)知a?b?c?4，由柯西不等式，得?b?12122??a?a?b?c???4?9?1????2??3?c?1?

93?4??2???a?b?c??16

212128a?b?c2? 49711bac818232当且仅当??,即a?,b?,c?时等号成立

231777812122故a?b?c的最小值为.

749故

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