1.3.3菱形性质与判定

§1.3.3菱形性质与判定（九年级上数学005）—— 研究课

班级________姓名________

一.学习目标：

1．理解菱形的定义， 掌握菱形的性质和判定；

2．能运用菱形的性质和判定进行简单的计算与证明． 二．学习重点：菱形的性质、判定的理解和掌握；

学习难点：菱形的性质、判定的综合应用． 三．教学过程

知识梳理1：菱形的定义： 菱形的性质： （边） （角）

（对角线） （对称性）

菱形的面积等于 ． 边讲边练：

Ⅰ.菱形两条对角线、边长之间的关系：

1. 如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则： ①此菱形的边长为 ．(10 盐城)周长为 ．(10 北京) ②此菱形的面积为 ．(10 株洲)

③此菱形对角线的交点O到AB的距离为 ．(11 昆明)

④菱形内部(包括边界)任取一点P，使△ACP的面积大于6 cm2的概率为 ．(10 淮安) 2. 已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为___ ___cm． 3． 菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC:BD=4:3，那么对角线AC=_____cm，BD=_____cm．

4．(10 西安)若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为 ．

Ⅱ.有一个内角为60°的菱形：

1. 如图如图所示，在菱形ABCD中，若AB＝6，∠DAC＝60°则： ①BD＝ ．(10 南通) ②AC＝ ．(11 中山) ③S菱形ABCD＝ ．

归纳：有一个内角为60°的菱形，短的对角线等于 ；长的对角线等于 ．

§1.3.3菱形的性质和判定

- 1 -

2. 菱形的两邻角之比为1:2，边长为2，则菱形的面积为__________．

3. 己知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 ． 4． 如图，菱形ABCD的边长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则S菱形ABCD= cm2． 5． 如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2㎝，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为 cm．

、

第3题图 第4题图 第5题图

知识梳理2：

如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于1,2AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 形，你判定的理由是： ． ．．．归纳：

的平行四边形是菱形

的四边形是菱形

例题精讲

1．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，DF∥AC． 试判断四边形AFED的形状，并加以证明．

2．已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． （1） 求证：四边形OCED是菱形；

（2） 若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．

（3）若∠ACB＝30?，菱形OCED的面积为83，求AC的长．

§1.3.3菱形的性质和判定

- 2 -

3．两张等宽的矩形纸片如图所示叠放在一起，他们重合的图形是什么形状，并加以证明．

4．如图，□ABCD的对角线BD的垂直平分线与AD、BC分别交于点E、F． 求证：四边形BEDF是菱形．

变式．

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

§1.3.3菱形的性质和判定

- 3 -

课外延伸

1． 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．

2． 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 （ ）

A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补

3． 如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论正确的是 （ ） ①△AED≌△DFB； ②S四边形 BCDG=

3

CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．其中结论 4

A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③

第1题图 第3题图 第4题图

4． 如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF． (1) 求证：四边形AECF是平行四边形； (2) 若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长 ．

5 如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.

（1）求证： OP=OQ；

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

§1.3.3菱形的性质和判定

- 4 -