全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分）
y(x?y)ln(1?)xdxdy?，其中区域D由直线x?y?1与两坐标轴1．计算??D1?x?y所围成三角形区域.
2．设f(x)是连续函数，且满足f(x)?3x??220f(x)dx?2，则f(x)?.
x23．曲面z??y2?2平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是.
24．设函数y?y(x)由方程xef(y)?eyln29确定，其中f具有二阶导数，且
d2y
f??1，则2?.
dx
eex?e2x???enxx()，其中n是给定的正整数. 二、（5分）求极限limx?0n1f(x)三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)??0f(xt)dt，且lim?A，A为x?0x常数，求g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.
四、（15分）已知平面区域D?{(x,y)|0?x??,0?y??}，L为D的正向边界，试证：
（1）?xesinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx；
LL（2）?xesinydy?ye?sinydx?5?2.
L2五、（10分）已知y1?xex?e2x，y2?xex?e?x，y3?xex?e2x?e?x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线y?ax2?bx?2lnc过原点.当0?x?1时，y?0，又已知该抛物线与x轴及直线x?1所围图形的面积为1.试确定
3a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小. 七、（15分）已知un(x)满足un?(x)?un(x)?xn?1exn?1,2,L，且un(1)?e，求
n函数项级数?un(x)之和.
n?1?八、（10分）求x?1时，与?xn等价的无穷大量.
?2?n?0
2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（25分，每小题5分）
（1）设xn?(1?a)(1?a)L(1?a)，其中|a|?1,求limxn. n??22n?1?e?x?1??. （2）求limx???x?x2（3）设s?0，求In??0（4）设函数
?2g?2g?2. 2?x?y?e?sxxndx(n?1,2,L).
?1?f(t)有二阶连续导数，r?x2?y2,g(x,y)?f??，求
?r??x?y?0（5）求直线l1:?与直线l2:x?2?y?1?z?3的距离.
4?2?1?z?0二、（15分）设函数f(x)在(??,??)上具有二阶导数，并且f??(x)?0，
x???limf?(x)???0，
limf?(x)???0，且存在一点x0，使得f(x0)?0. 证明：方程f(x)?0在
x???(??,??)恰有两个实根.
三、（15
?x?2t?t2(t??1)所确定，且分）设函数y?f(x)由参数方程?y??(t)?d2y3?， 2dx4(1?t)其中?(t)具有二阶导数，曲线y??(t)与y??1求函数?(t).
t2e?udu?23在t?1出相切，2e四、（15分）设an?0,Sn??ak，证明：
k?1n（1）当??1时，级数?an?n?1Sn??收敛；
an?n?1Sn??（2）当??1且sn??(n??)时，级数?发散.
五、（15分）设l是过原点、方向为(?,?,?)，（其中?2??2??2?1)的直线，均匀椭球
x2y2z2???1（其中0?c?b?a，密度为a2b2c21）绕l旋转.
（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向(?,?,?)的最大值和最小值. 六、(15分)设函数?(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分??L2xydx??(x)dy?0的值为常数.
x4?y22xydx??(x)dy?0； 42x?y（1）设L为正向闭曲线(x?2)2?y2?1，证明??L（2）求函数?(x)；
（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求??C
2xydx??(x)dyx4?y2.
2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
?sinx?（1）求lim??x?0?x??（2）.求lim?n??11?cosx；
111???...??； n?1n?2n?n??2t??x?ln?1?e?（3）已知?t??y?t?arctaned2y，求2dx.
二、（本题10分）求方程?2x?y?4?dx??x?y?1?dy?0的通解. 三、（本题15分）设函数f(x)在x?0的某邻域内具有二阶连续导数，且f?0?,f??0?,f???0?均不为0，证明：存在唯一一组实数k,k,k，
123使得
limk1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0??0. h?0h2四、（本题17
x2y2z2分）设?1:2?2?2?1，其中a?b?c?0，?2:z2?x2?y2，
abc?为?1与?2的交线，求椭球面?1在?上各点的切平面到原点距离的
最大值和最小值. 五、（本题16
?x2?3y2?1分）已知S是空间曲线?绕y轴旋转形成的椭
z?0?球面的上半部分（z?0）（取上侧），?是S在P(x,y,z)点处的切平面，
?(x,y,z)是原点到切平面?的距离，?,?,?表示S的正法向的方向余
弦. 计算： （1）??Sz（2）??z??x?3?y??z?dS dS；
??x,y,z?Sf?(x)?mf(x)，
六、（本题12分）设f(x)是在(??,??)内的可微函数，且
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