3.1.2 空间向量的数乘运算
填一填
1.空间向量的数乘运算 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的定义 数乘 λ>0 λa与向量a的方向相同 几何 λ<0 λa与向量a的方向相反 λa的长度是a的长度的|λ|倍 意义 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 分配律 λ(a＋b)＝λa＋λb 运算 律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 2.共线、共面向量 共线(平行)向量 共面向量 表示空间向量的有向线段所在的平行于同一个平面的向量叫做共定义 直线互相平行或重合，则这些向量面向量 叫做共线向量或平行向量 若两个向量a，b不共线，则向量对于空间任意两个向量a，充要 p与a，b共面的充要条件是存在b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在条件 唯一的有序实数对(x，y)，使p＝实数λ，使a＝λb xa＋yb 如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件→→是存在实数t，使OP＝OA＋ta，① 其中a叫做直线l的方向向量，如 图所示． 如图，空间一点P位于平面MAB推论 内的充要条件是存在有序实数对→→→(x，y)，使MP＝xMA＋yMB，或对→→空间任意一点O来说，有OP＝OM→→ ＋xMA＋yMB →若在l上取AB＝a，则①式可化为→→→OP＝OA＋tAB 判一判 →→
1.向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．(×)
2．空间两向量共线是指表示它们的有向线段在同一条直线上．(×)
3．若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．(×) 4．实数与向量之间可进行加法、减法运算．(×)
5．若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．(×)
→→→
6．如果OP＝OA＋tAB，则P，A，B共线．(√) 7．空间中任意三个向量一定是共面向量．(×)
8．若向量a与b共线，b与c共线，则向量a与c共线．(×) 想一想 1.向量λa的模与向量a的模比较，何时扩大？何时缩小？ |λ|>1时，λa的模比a的模扩大；当|λ|<1时，λa的模比a的模缩小． 2．向量λa的方向与向量a的方向是否一致？
当λ>0时，λa的方向与向量a的方向一致；当λ<0时，λa的方向与a的方向反向；当λ＝0时，λa＝0，其方向任意．
3．共面向量与直线与平面平行的定义是否一样？
共面向量是指表示向量的有向线段所在的直线与平面平行或表示向量的有向线段所在的直线在平面内，它与直线和平面平行是不同的．
思考感悟：
练一练
1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( ) A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 答案：A
2．下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是( ) →→→→→→A.AB＋BC＝AC B.AB－BC＝AC →→→→C.AB＝BC D．|AB|＝|BC| 答案：C
→→1→1→
3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OM＝xOA＋OB＋OC，则x
33
的值为( )
A．1 B．0
1
C．3 D.
3
答案：D
4．下面关于空间向量的说法正确的是( ) A．若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行
B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面
→→
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，CD不共面
→→→
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB，AC，AD不共面 答案：D
知识点一
空间向量的数乘运算
→→→
1．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若PA＝a，PB＝b，PC
→
＝c，则BE＝( )
111A.a－b＋c 222111B.a－b－c 222131C.a－b＋c 222113D.a－b＋c 222
1→1→→→1→→
解析：BE＝(BP＋BD)＝－PB＋(BA＋BC)
222
1→1→1→＝－PB＋BA＋BC
222
1→1→→1→→＝－PB＋(PA－PB)＋(PC－PB)
2223→1→1→＝－PB＋PA＋PC
222131
＝a－b＋c.故选C. 222答案：C
→
2．在空间四边形ABCD中，连结AC、BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则AB1→3→→
＋BC－DE－AD的化简结果为________． 22
→2→
解析：如图，取BC的中点F，连结DF，则DE＝DF，
3
→1→3→→→→→→→→→
∴AB＋BC－DE－AD＝AB＋BF－DF＋DA＝AF＋FD＋DA＝0.
22
答案：0
知识点二 空间向量共线问题 →→→3.已知空间向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点
是( )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
→→→→
解析：因为BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，又因为B为公共点，所以A，B，D三点共线．故选A.
答案：A
4．如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，
→→
BF的中点，判断CE与MN是否共线．
解析：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边
→→→→1→→1→
形，所以MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.
22
1→→→1→→→→→→
又因为MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，
22
→→
以上两式相加得CE＝2MN，
→→→→
所以CE∥MN，即CE与MN共线. 知识点三 空间向量共面问题 5.在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( ) →→→→A.OM＝3OA－2OB－OC →→→→B.OM＋OA＋OB＋OC＝0 →→→C.MA＋MB＋MC＝0 →1→→1→D.OM＝OB－OA＋OC
42
→→→→→→
解析：因为MA＋MB＋MC＝0，所以MA＝－MB－MC，所以M与A，B，C必共面．故选C.
答案：C
6．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面． (2)BD∥平面EFGH.
证明：如图，连接EG，BG.
→→→→1→→→→→→→
(1)因为EG＝EB＋BG＝EB＋(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由向量共面的充要条
2
件知：E，F，G，H的四点共面．
→→→1→1→1→
(2)因为EH＝AH－AE＝AD－AB＝BD，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面
222
EFGH，所以BD∥平面EFGH. 综合应用
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