计数部分
加法原理与枚举法 如果完成一件事情有n类方法，而每一类方法中分别有m1，m2，…，mn种方法，而不论采用这些方法中的任何一种，都能单独地完成这件事情，那么要完成这件事情共有N=m1+m2+…mn 种方法。 这就是加法原理，也是利用分类法计数的依据。而在分类计数的过程中，往往要把各类方法中的总的数量加以枚举，因此，加法原理常和枚举法结合运用。所谓枚举法，就是把所要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的方法。运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复，也无一遗漏。
乘法原理 如果完成一件事必须分n个步骤，而每一个步骤分别有m1，m2，…，mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法。 这就是乘法原理，它是分步法的依据。乘法原理和加法原理被称为是计数的基本原理。我们应注意它们的区别，也要注意二者的联合使用。 利用乘法原理解决一些较难问题时，一定要注意各个步骤的先后次序的选择。
排 列 在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法。这就是排列问题。在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从
组合 日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同 1
学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题. 一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合. 从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作cmn.
综合应用 前面我们已讨论了加法原理、乘法原理、排列、组合等问题.事实上，这些问题是相互联系、不可分割的.例如有时候，做某件事情有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成.在计算做这件事的方法时，既要用到乘法原理，又要用到加法原理.又如，在照相时，如果对坐的位置有些规定，那么就不再是简单的排列问题了.类似的问题有很多，要正确地解决这些问题，就一定要熟练地掌握两个原理和排列、组合的内容，并熟悉它们所解决问题的类型特点. 1、运用两个加法原理和乘法原理时要注意： ①抓住两个基本原理的区别，千万不能混. 不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数. 不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数. ②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则. ③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的. 2、运用排列与组合时要注意：排列与组合都是从若干个元素中选出一些元素，共有多少种选法的问题，其中排列要求选出的这些元素有顺序要求，而组合没有顺序要求。 包含与排除 集合通常用大写的英文字母A、B、C、…表示。构成这个集合的事物称为这个集合的元素。如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一个元素。又如任何一个自然数都是集合B的元素。像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集合。像集合C 2 这样含有有限多个元素的集合称为有限集合。有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、…表示。 记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合。就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分。集合A∪B叫做集合A与集合B的并集。“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝。元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体。就是上图中阴影部分所表示的集合。即是由集合A、B的公共元素所组成的集合。它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”。如上例中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。 关于两个集合的容斥原理：集合A与B的并集的元素个数，等于集合A的元素个数与集合B的元素个数的和，减去集合A与B的交的元素个数。 即：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| 关于三个集合的容斥原理： 右图中三个圆A、B、C分别表示具有三种不同性质的集合，并如图用M1、M2、M3、…、M7表示由三个圆形成的内部互不重叠的部分所含元素的个数，可见：｜A∪B∪C｜＝M1＋M2+…＋M7 ＝（M1＋M4＋M6＋M7）+（M2＋M4＋M5＋M7）+（M3＋M5＋M6＋M7）-[（M4+M7）+（M5+M7）+（M6＋M7）]＋M7 ＝｜A｜＋｜B｜＋｜C｜-｜A∩B｜-｜B∩C｜-｜A∩C｜+｜A∩B∩C｜， 事实上这个规律还可推广到按多种性质来分类的情形。设集合M中的每个元素至少具有t种性质中的一种，用n1表示各个具有1种性质的集合中的元素个数的和，n2表示各个具有2种性质的集合中元素个数的和，…，nt表示具有t种性质的集合中元素的个数，则集合M中元素的个数m为： m=n1-n2＋n3-n4+…±nt 最后一项当t为偶数时取“－”号，否则取“＋”号。
枚举法一
内容概述:
；应用字典排列法解 掌握枚举的一般方法，学会按照一定顺序，有规律地进行枚举，做到“不重不漏”决整数分拆的问题，学会分辨“计次序”与“不计次序”的情形。 3
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