第17题图
18.如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB＝3，∠DCF＝30°，求四边形AECF的面积(结果保留根号).
第18题图
参考答案
1. D
2. A 3. B 4. B 5. B 6. D 7. A 8. C 9. D 10. 2 11. 3 12. 4 13. 13
14. 解：(1)四边形CEGF为菱形，
证明：由题意得，GF∥EC，GE∥FC， ∴CEGF是平行四边形， 由折叠的性质得，EC＝EG， ∴四边形CEGF是菱形；
(2)当点G和点A重合时，此时EC最大， 设EC＝x，，则GE＝x， BE＝9－x，在Rt△ABE中， AB2＋BE2＝AE2，32＋(9－x)2＝x2 解得x＝5；
当D和H重合时，此时EC＝CD＝3， ∴3≤EC≤5.
15. 解：(1)证明：在正方形ABCD中，∵DE＝DG， ∴∠DEG＝∠DGE， ∴∠AED＝∠DGC，
又∵AD＝CD，∠DAC＝∠DCA＝45°， ∴△ADE≌△CDG， ∴AE＝CG；
(2)BE∥DF.理由如下：
∵BC＝CD，CE＝CE，∠BCE＝∠DCE＝45°， ∴△BCE≌△DCE，
∴∠BEC＝∠DEC＝∠DGE， ∴BE∥DF.
16. 解：(1)证明：∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE. ∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE. ∴△EAF≌△EDC. ∴AF＝DC. ∵AF＝BD，
∴BD＝DC，即D是BC的中点； (2)四边形AFBD是矩形．证明如下： ∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点， ∴AD⊥BC.
∴四边形AFBD是矩形．
17. 证明：(1)∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中，
?AB＝CB
?∠ABD＝∠CBD， ?BD＝BD
∴△ABD≌△CBD， ∴∠ADB＝∠CDB；
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD＝∠PND＝90°， 又∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形， 又∵∠ADB＝∠CDB， ∴PM＝PN.
∴四边形MPND是正方形．
18. 解：(1)证明：∵O是AC的中点，EF⊥AC， ∴AF＝CF，AE＝CE，AO＝CO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
?∠AFE＝∠CEF
在△AOF和△COE中，?∠AOF＝∠COE，
?OA＝OC
∴△AOF≌△COE， ∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE， ∴四边形AECF是菱形； (2)∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝3，
CD
在Rt△CDF中，∵CF＝cos∠DCF，∠DCF＝30°， ∴CF＝
CD3
＝＝2，
cos30°3
2
∵四边形AECF是菱形， ∴CE＝CF＝2，
∴四边形AECF的面积为EC·AB＝2×3＝23.
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