(1)求an；
(2)若bn＝(－1)n1an，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由a2(an＋1)＝0， n－2nan－(2n＋1)＝0，得[an－(2n＋1)]·∴an＝2n＋1或an＝－1.
又∵数列{an}的各项均为正数，∴an＝2n＋1. (2)∵bn＝(－1)n－1an＝(－1)n－1·(2n＋1)， ∴Tn＝3－5＋7－9＋…＋(－1)n－1·(2n＋1)． n
当n为偶数时，Tn＝－2×＝－n；
2
当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋an＝－(n－1)＋2n＋1＝n＋2.
4．已知数列{an}是公差为正数的等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1＝1，a2＝b2，a5＝b3，a14＝b4. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
111
(2)对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k＜p＜r)使，，成等差数列？若存在，用k分别表示
akapar
p和r(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)设数列{an}的公差为d，则a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，
即b2＝1＋d，b3＝1＋4d，b4＝1＋13d，∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，∴d＝2. ∴an＝1＋2(n－1)，即an＝2n－1. 又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9， b39
∴{bn}的公比q＝＝＝3，
b23∴bn＝b2qn－2＝3×3n－2，即bn＝3n－1.
111121213－2p
(2)当k＝1时，若存在p，r，使，，成等差数列，则＝－＝－＝.
akapararapak2p－1a12p－1∵p≥2，∴ar＜0，与数列{an}为正项数列相矛盾． ∴当k＝1时不存在．
112
当k≥2时，设ak＝x，ap＝y，ar＝z，则＋＝，
xzy∴z＝
. 2x－yxy
－
令y＝2x－1，得z＝xy＝x(2x－1)，此时ak＝x＝2k－1，ap＝y＝2x－1＝2(2k－1)－1， ∴p＝2k－1，ar＝z＝(2k－1)(4k－3)＝2(4k2－5k＋2)－1.∴r＝4k2－5k＋2.
综上，当k＝1时，不存在p，r；
当k≥2时，存在p＝2k－1，r＝4k2－5k＋2满足要求．
大题专项训练3 概率与统计
1．(2018年北京东城区二模)某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10：00在该银行取号后等待办理业务的人数，如图所示：
从这15天中，随机选取一天，随机变量X表示当天上午10：00在该银行取号后等待办理业务的人数． (1)请把X的分布列补充完整；
X P 8 1 3 9 10 1 5 11 12 13 14 1 15(2)令μ为X的数学期望，若P(μ－n≤X≤μ＋n)＞0.5，求正整数n的最小值； (3)由图判断，从哪天开始的连续五天上午10：00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？(结论不要求证明)
【解析】(1)X的分布列如下：
X P 8 1 3 9 2 15 10 1 5 11 1 15 12 2 15 13 1 15 14 1 151211211
(2)由(1)可得X的数学期望EX＝8×＋9×＋10×＋11×＋12×＋13×＋14×＝10，
315515151515∴μ＝10.
213
∵P(10－1≤X≤10＋1)＝＜0.5，P(10－2≤X≤10＋2)＝＞0.5，∴n＝2.
515
(3)由图判断，从第10日或第11日开始的连续五天上午10：00，在该银行取号后等待办理业务的人数均值最大.
2．(2018年安徽黄山质检)某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值)；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x(单位：万元) 销售收益y(单位：万元) 1 2 2 3 3 2 4 5 7 表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将(2)的结果填入空白栏，并求y关于x的回归方程．
－－
?xiyi－nx y
^i＝1
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝
nn
^－^－，a＝y－bx. －
?xi2－nx2
i＝1
【解析】(1)设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形的面积总和为1， 可知(0.08＋0.10＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02)×m＝1，解得m＝2. ∴图中各小长方形的宽度为2.
(2)由(1)可知各小组依次是[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，
各小组的中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04， ∴可估计平均值为1×0.16＋3×0.20＋5×0.28＋7×0.24＋9×0.08＋11×0.04＝5(万元)． (3)空白栏中填5.
－1＋2＋3＋4＋5－2＋3＋2＋5＋7x＝＝3，y＝＝3.8，
55
?xiyi＝1×2＋2×3＋3×2＋4×5＋5×7＝69，
i＝1
5
?xi2＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
i＝1
5
^69－5×3×3.8^
∴b＝＝1.2，a＝3.8－1.2×3＝0.2.
55－5×32^
∴回归方程为y＝1.2x＋0.2.
3．(2019年江苏)在平面直角坐标系xOy中，设点集An＝{(0,0)，(1,0)，(2,0)，…，(n,0)}，Bn＝{(0,1)，(n,1)}，Cn＝{(0,2)，(1,2)，(2,2)，…，(n,2)}，n∈N*.令Mn＝An∪Bn∪Cn.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．
(1)当n＝1时，求X的概率分布；
(2)对给定的正整数n(n≥3)，求概率P(X≤n)(用n表示)．
【解析】(1)当n＝1时，A1＝{(0,0)，(1,0)}，B1＝{(0,1)，(1,1)}，C1＝{(0,2)，(1,2)}，
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