24．450m. 【解析】 【分析】
若要使A、C、E三点共线，则三角形BDE是以∠E为直角的三角形，利用三角函数即可解得DE的长．【详解】
解：Q?ABD?120?，?D?30?，
??AED?120??30??90?，
在RtΔBDE中，BD?520m，?D?30?，
?BE?1BD?260m， 2?DE?BD2?BE2?2603?450?m?．
答：另一边开挖点E离D450m，正好使A，C，E三点在一直线上． 【点睛】
本题考查的知识点是解直角三角形的应用和勾股定理的运用，解题关键是是熟记含30°的直角三角形的性质. 25．78o 【解析】 【分析】
连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA?DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】 连接BD，
∵E为AB的中点，DE?AB于点E， ∴AD?BD， ∴?DBA??A， ∵?A?66o， ∴?DBA?66o， ∵?ABC?90o，
∴?DBC??ABC??DBA?24o， ∵AD?BC， ∴BD?BC， ∴?C??BDC，
180o??DBC∴?C??78o．
2
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
26．（1）进价为1000元，标价为1500元；（2）该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元． 【解析】
分析：（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润0.9×8-8x，将标价直降100元销售7辆获利是（1.5x-100）×7-7x，根据利润相等可得方程是1.5x×
1.5x×0.9×8-8x=（1.5x-100）×7-7x，再解方程即可得到进价，进而得到标价；
（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，利用销售量×每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式，再利用配方法求最值即可．
详解：（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得： 1.5x×0.9×8-8x=（1.5x-100）×7-7x， 解得：x=1000， 1.5×1000=1500（元），
答：进价为1000元，标价为1500元；
（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得： w=（51+=-
a×3）（1500-1000-a）， 203（a-80）2+26460， 203∵-＜0， 20∴当a=80时，w最大=26460，
答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．
点睛：此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出w与a的关系式，进而求出最值．
27． (1) y=﹣（x﹣1）2+9 ，D（1，9）； (2)p=﹣1；（3）存在点Q（2，1）使△QBC的面积最大． 【解析】
分析：
（1）把点B的坐标代入y=ax2+2x+1求得a的值，即可得到该抛物线的解析式，再把所得解析式配方化为顶点式，即可得到抛物线顶点D的坐标；
（2）由题意可知点P在直线CD上时，|PC﹣PD|取得最大值，因此，求得点C的坐标，再求出直CD的解析式，即可求得符合条件的点P的坐标，从而得到p的值；
（3）由（1）中所得抛物线的解析式设点Q的坐标为（m，﹣m2+2m+1）（0＜m＜4），然后用含m的代数式表达出△BCQ的面积，并将所得表达式配方化为顶点式即可求得对应点Q的坐标. 详解：
（1）∵抛物线y=ax2+2x+1经过点B（4，0）， ∴16a+1+1=0， ∴a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+9， ∴D（1，9）；
（2）∵当x=0时，y=1， ∴C（0，1）．
设直线CD的解析式为y=kx+b．
将点C、D的坐标代入得：??b?8，解得：k=1，b=1，?k?b?9
∴直线CD的解析式为y=x+1． 当y=0时，x+1=0，解得：x=﹣1，
∴直线CD与x轴的交点坐标为（﹣1，0）． ∵当P在直线CD上时，|PC﹣PD|取得最大值， ∴p=﹣1； （3）存在，
理由：如图，由（2）知，C（0，1）， ∵B（4，0），
∴直线BC的解析式为y=﹣2x+1， 过点Q作QE∥y轴交BC于E，
设Q（m，﹣m2+2m+1）（0＜m＜4），则点E的坐标为：（m，﹣∴EQ=﹣m2+2m+1﹣（﹣2m+1）=﹣m2+4m， ∴S△QBC=
12（﹣m2+4m）×
4=﹣2（m﹣2）2+1， ∴m=2时，S△QBC最大，此时点Q的坐标为：（2，1）．
2m+1），
点睛：（1）解第2小题时，知道当点P在直线CD上时，|PC﹣PD|的值最大，是找到解题思路的关键；（2）解第3小题的关键是设出点Q的坐标（m，﹣m2+2m+1）（0＜m＜4），并结合点B、C的坐标把△BCQ的面积用含m的代数式表达出来.
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