2002年全国数学竞赛试题 

2002年全国初中数学竞赛试题

（2002年4月7日上午 9：30——11：30）

一、选择题（每小题5分，共30分）

1、设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则

a?b的值为 a?bA、3 B、6 C、2 D、3 2、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为

DGCFBA、0 B、1 C、2 D、3 3、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则

AES四边形AGCDS矩形ABCD等于

5432A、 B、 C、 D、

6543???4、设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、

333z中至少有一个值

A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0

5、设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是

A、?22222＜a＜ B、a＞ C、a＜? D、?＜a＜0

5577116、A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于

A、a2?b2 B、a2?ab?b2

1?a?b? D、a＋b 2二、填空题（每小题5分，共30分）

C、

7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根， 则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为 。

8、已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，

a＜b，则a?c?c?b的值为 。

9、如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点， 使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。

10、如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OA为直径作 ⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4， 这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。

11、满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有 个。

12、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。 三、解答题（每小题20分，共60分）

A O3 O O4 A PCBO1 O2 B 213、某项工程，如果由甲、乙两队承包，2天完成，需付180000元；由乙、丙两队

536承包，3天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2天完成，需付160000元。现

47在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？

14、如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。

QDACCPAC2??（1） 求证：（2）求证： 2PECEEDEC

ABFQPEDC15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。

证明：（1）2a、2b、c都是整数；

（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？