高等数学(上)期末试卷(二)
2007─2008学年第一学期
ex?1dx等于[ C ]. 6．不定积分?xe?1A．ln(e?1)?C B．ln(e?1)?C C．2ln(e?1)?x?C D．x?2ln(e?1)?C 7．若f(x)在[a,b]上连续，F(x)?xxxx《高等数学Ⅰ》课程考试试卷(B卷参考答案)
注意：1、本试卷共3页； 2、考试时间:120分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方。
?xf(t)dt,a?x?b，则F(x)是f(x)的[ B ].
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分
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一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分， 共20分)
1．下列函数中在(0,??)内为有界函数的是[ A ].
A．y?arctanx B．y?12x C．y?ln(x?1) D．y?3x
2．当x?0时，f(x)?(1?cosx)ln(1?2x2)与下列哪个量是同阶无穷小量[ B ]. A．x3 B．x4 C．x5 D．x2
3．设f(x)?xlnx在x0处可导，且f?(x0)?2，则f(x0)等于[ C ]. A．0 B．1 C．e D．e2
4．设f(x)?11?x，其n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn(x)等于[ C ].
xn?1(?1)nxn?1A．
(n?1)(1??x)n?1,(0???1) B．(n?1)(1??x)n?1,(0???1) C．
xn?1(?1)nxn?1(1??x)n?2,(0???1) D．(1??x)n?1,(0???1)
5．若函数f(x)在x?0的某个邻域内连续，f(0)?0，limf(x)1?cosx?2，则下列关于
x?0点x?0的描述中正确的是[ B ].
A．点x?0是f(x)的极大值点 B．点x?0是f(x)的极小值点
C．点x?0不是f(x)的驻点 D．点x?0是f(x)的驻点，但不是f(x)的极值点
aA．原函数的一般表达式 B．一个原函数 C．在[a,b]上的积分与一个常数之差 D．在[a,b]上的积分 8．积分
?1?1ln(x?1?x2)dx等于[ A ].
A．0 B．1??2 C．
?2 D．1??2
9．若非零向量ar,br,cr满足ar?br?0与ar?cr?r0，则br?cr等于[ A ].
A．0 B．－1 C．1 D．3
10．将xOy坐标面上的双曲线x2y2a2?b2?1绕x轴旋转一周得到的曲面方程为[ A A．x2y2?z2a2?b2 B．x2?z2a2?y2?1 b2?1 C．
x2?y2z2y2?z2a2b D．a2?x2?2?1b2?1
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二．填空题(每小题2分，共10分)
1．设f(x)??x0t(t?1)dt，则f(x)的单调减少区间是[0,1] .
2．若y?sin(cosx2)，则y???2xsinx2cos(cosx2) . 3．
???1??1?x2? ? .
4．已知f(x)?ex，则
?f?(lnx)xdx?x?C . 5．设向量mr,nr,pr两两垂直且方向符合右手法则，若mr?3，nr?2，pr?4， 则(mr?nr)?pr? 24 . / 4
].
1 高等数学(上)期末试卷(二)
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三．求解下列各题（每小题5分，共10分)
1．lim(11n???3n?1)n 解：原式=lim(1?1(?(3n?1)(?1)?1)/3n??3n?1) 2 =lim(11?(3n?1)(?1/3)1(1/3)n???3n?1)?lim(1n???3n?1) 4
?e?1/3 5
ln(1?2)2．xxlim????3arccotx 1(?21?2x2)解：原式=xlimx??? 2
?3?11?x2?xlim???(?23)1?x2x?x2 4 ??23 5
阅卷人 得分 四. 求解下列各题（每小题6分，共12分)
1．若方程arctanxy?1?ln(x2?y2)确定了y是x的函数，求函数y的微分dy. 解：原方程两边同时对x求导，有
y?xy?1?x2y2?2x?2yy?x2?y2 2 则y??2x(1?x2y2)?y(x2?y2)x(x2?y2)?2y(1?x2y2) 4
则dy?2x(1?x2y2)?y(x2?y2)x(x2?y2)?2y(1?x2y2)dx 6
2．设参数方程??x??et确定了y是x的函数，求d2y?y?etcostdx2. 解：dyetcost?etsindx?t?et?sint?cost 4 d2ysindx2?t?cost?et 6
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五．求解下列各题（每小题6分，共18分)
a2?x21．?x4dx，(a?0) 解：令x?asint
原式=?a2cos2ta4sin4tdt??1a2?cot2td(cott) 4 ??13312223a2cott?C??3a5(x?a)?C 6
2．
??30sinx?sin5xdx
解：原式=
??320sinxcosxdx 4
3???/23sin2xcosxdx???20?/2sinxcosxdx 5 3 ?sin2xd(sinx)???3??/2sin20?/2xd(sinx)?4/5 6
3．设f(x)??x2sint1tdt，求?10xf(x)dx
10x)dx??10f(x)d(x2解：?xf(2) 2
[x2?2f(x)]11x20??02d(f(x))
?0??1x2sinx21202x22xdx???0xsinxdx 5 2 / 4
高等数学(上)期末试卷(二)
?1[cosx2]1cos1?120?2 6 阅卷人 得分
六. （本题10分）
已知摆线??x?a(t?sint)y?a(1?cost)的一拱(0???2?)如图所示，其中a?0，
?1） 计算该拱摆线的长度； y 2） 求该拱摆线与x轴所围成图形的面积.
0 2?a x 解：1）长度L??2?20a(1?cost)2?a2sin2tdt 2
??2?02asint2dt 4
?8a 5
2）面积S??2?a2?0ydx??0a2(1?cost)2dt 8
? ?12a2?2420sintcostdt
?3?a2 10
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七. （本题7分）
求过点M(3,1,?2)且通过直线x?4y?5?32?z1的平面方程. 解：记直线Lx?4y?1:5?32?z1，设过点M(3,1,?2)且垂直相交于直线L1的平面为? 则平面?方程为5(x?3)?2(y?1)?(z?2)?0 2
令x?45?y?32?z1?t则x?4?5t,y??3?2t,z?t 代入平面?得t?1/30，即交点为A(25?446,15,130) 4 以uMAuur?(76,?5915,6130)为所求直线的方向向量得到
所求直线为：x?3y?1z?27/6??59/15?61/30 7 阅卷人 得分
八. （本题7分）
已知点A(1,0,0)与点B(0,2,1)，试在z轴上确定一点M使得由该三点确定的三角形 的面积最小.
解：记点M(0,0,z)，三角形面积为S，则
S?1u2AMuuuruABuursin?MAB 3
rirjkr??10z??2zir?(1?z)rj?2kr?11(5z2?2z?5)2 ?12125
令S??12?14(5z?2z?5)2(10z?2)?0有驻点z?1/5
S(1/5)?65 7
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九. （本题6分）
设常数k?0，试判断方程4x6?x2?k?0有几个实根，并证明你的结论. 证：记g(x)?4x6?x2?k
则g?(x)?24x5?2x?2x(1?12x4) 2 且g??(x)?120x4?2?0
即g(x)在(??,??)上为凹函数， 4 又因为g(x)在(??,0)上为单调减少函数，在(0,??)上为单调增加函数， 3 / 4
高等数学(上)期末试卷(二)
且g(0)??k?0，故方程有两个实根. 6
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