10．B 11．C 12．D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．3 14．
415．－3
16．四
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4x217．（1）?y2?1；（2）存在直线l：y?x?满足要求.
23【解析】 【分析】
（1）由条件布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的标准方程；
（2）由F为?MPQ的垂心可知MF?PQ，利用韦达定理表示此条件即可得到结果. 【详解】
x2y2解：（1）设椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)，半焦距为c.
abuuuvuuuvF（c,0)Aa,0M0,bMF?c,?bFA则?、?、??、??、??a?c,0?
由MF?FA=2-1，即ac?c2?uuuvuuuv2-1，又
c2，a2?b2?c2 ?a22?a2?2x解得?2，?椭圆的方程为?y2?1
2?b?1（2）QF为?MPQ的垂心，?MF?PQ 又M?0,1?，F?1,0?
?KMF??1，?KPQ?1
设直线PQ：y?x?m，P?x1,y1?，Q?x2,y2?
x2将直线方程代入?y2?1，得3x2+4mx?2m2?2?0
24m2m2?2x1?x2?? ，x1?x2?33???4m??122m2?2?0，?3?m?3且m?1
2??vuuuuvuuuvuuuuvuuu又PF?MQ，PF??1?x1,?y1?，MQ??x2,y2?1?
?x2?x1x2?y1y2?y1?0，即（1?m)（?x1?x2)?2x1x2?m?m2?0
由韦达定理得：3m2?m?4?0
4或m?1（舍去） 34?存在直线l：y?x?使F为?MPQ的垂心.
3解之得：m??【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 18．（1）见解析（2）【解析】 【分析】
（1）连接OC，由BO＝DO，AB＝AD，知AO⊥BD，由BO＝DO，BC＝CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知AO?1，CO?3，AC＝2，故AO2+CO2＝AC2，由此能够证明AO⊥平面BCD； （2）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，EM?由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦；
（3）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中，CA?CD?2，AD?2221 （3）
47121AB?，OE?DC?1，2222，故SVACD?2?132317AO1，由＝，知，由此能求出点E到平S???2???2?4????VCDE??24222?2?面ACD的距离． 【详解】
（1）证明：连接OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD， ∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD．
在△AOC中，由题设知AO?1，CO?3，AC＝2， ∴AO2+CO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC． ∵AO⊥BD，BD∩OC＝O， ∴AO⊥平面BCD．
（2）解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，
知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角． 在△OME中，EM?121AB?，OE?DC?1， 222∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴OM?1AC?1， 21?122?∴cos?OEM?， 422?1?21?∴异面直线AB与CD所成角大小的余弦为（3）解：设点E到平面ACD的距离为h．
2 4QVE?ACD?VA?CDE，
11?h．SVACD?．AO．SVCDE， 33在△ACD中，CA?CD?2，AD?22，
∴SVACD?2?17， ??2?4??????22?2?1323， ??2?242∵AO＝1，SVCDE?∴h?AO?SVCDE?SVACD1?32?21，
77221． 7∴点E到平面ACD的距离为
【点睛】
本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题． 19．（I）x?2y?5?0； （II）答案见解析.
【解析】 【分析】
(Ⅰ)首先求得抛物线的方程，然后求得AO的斜率，最后利用直线垂直的充分必要条件可得直线MB的方程；
(Ⅱ)联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理得到系数之间的关系，然后结合直线方程的形式即可证得直线恒过定点. 【详解】
22（I）因为M?1,?2?在抛物线G:y?2px?p?0?上，所以??2??2p?1，
2所以p?2，抛物线G:y?4x.
当点A与点O重合时，易知kAM??2，
因为以线段AB为直径的圆恒过点M，所以AM?MB.所以kBM?所以MB:y?2?1. 21?x?1?,即直线MB的方程为x?2y?5?0. 2（II）显然直线AB与x轴不平行，设直线AB方程为x?my?n .
?x?my?n,2，消去x得y?4my?4n?0. ?2?y?4x设A(x1,y1),B(x2,y2)，因为直线AB与抛物线交于两点， 所以?=16m2?16n?0,y1?y2?4m,y1y2??4n ① 因为以线段AB为直径的圆恒过点M，所以AM?MB.
因为A,B是抛物线上异于M的不同两点,所以x1,x2?1,kMA?kMB??1.
kMA=y1?2y1?2y?2y2?244?2?kMB=2?2?x1?1y1y?2,同理得x2?1y2y?2.
?11?124444?=?1,即(y1?2)(y2?2)?16?0,y1y2?2(y1+y2)?20?0. y1?2y2?2所以
将 ①代入得， ?4n?8m?20?0，即n=?2m?5 . 代入直线方程得x?my?2m?5?m(y?2)?5. 所以直线AB恒过定点(5,2) . 【点睛】
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
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