(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
π
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：
2
??x＝3＋2t，?(t为参数)的距离的最小值． ?y＝－2＋t?
x2y2
解：(1)曲线C1：(x＋4)＋(y－3)＝1，曲线C2：＋＝1，
649
2
2
曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；
曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． 3π
－2＋4cosθ，2＋sinθ?.曲线C3为直线(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M?2??2x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝85
取最小值.
5
??x＝2＋t，x2y2
2．已知曲线C：＋＝1，直线l：?(t为参数)．
49??y＝2－2t，
543
|4cosθ－3sinθ－13|，从而当cosθ＝，sinθ＝－时，d555
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
??x＝2cosθ，
解：(1)曲线C的参数方程为?(θ为参数)
?y＝3sinθ.?
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为 d＝
5
|4cosθ＋3sinθ－6|. 5
d25
＝|5sin(θ＋α)－6|， sin30°5
则|PA|＝
4225
其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
3525
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
5
参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
考点三 极坐标方程、参数方程的综合应用|
??x＝tcosα? (2015·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，?y＝tsinα?
其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
[解] (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.
??x＝0，?x＋y－2y＝0，
联立?22解得?
?y＝0，??x＋y－23x＝0，
2
2
?x＝23，
或?3
y＝?2.
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和?
33?.
?2，2?
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．
?α－π??. 所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4?sin??3??
5π
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
6
涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2016·昆明模拟)在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|＋|PN|的取值范围．
??x＝4＋tcosα解：(1)直线l的参数方程：?(t为参数)．
?y＝2＋tsinα?
∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴C：x2＋y2＝4x.
??x＝4＋tcosα
(2)直线l的参数方程：?(t为参数)，
?y＝2＋tsinα?
代入x2＋y2＝4x，得t2＋4(sinα＋cosα)t＋4＝0， Δ＝16?sinα＋cosα?－16>0，??
?t1＋t2＝－4?sinα＋cosα?，??t1t2＝4，
∴sinα·cosα>0，又0≤α<π， π
0，?，且t1<0，t2<0. ∴α∈??2?∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2| π
α＋?， ＝4(sinα＋cosα)＝42sin??4?πππ3π
0，?，得α＋∈?，?， 由α∈??2?4?44?∴
π2
α＋?≤1， 2 故|PM|＋|PN|的取值范围是(4,42 ]. 33.直线参数方程中参数t几何意义的应用 ??x＝1＋4cosθ 【典例】 已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(θ为参数)， ?y＝2＋4sinθ? π 直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为. 3 (1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程； (2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值． [思维点拨] (1)根据条件写出l的参数方程及化曲线C为标准方程． (2)利用t的几何意义求解|PA|·|PB|的值． [解] (1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16， ?直线l：?3 y＝5＋t?2 1x＝3＋t2 (t为参数)． (2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2＋(2＋33)t－3＝0， 设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3， 所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3. ??x＝x0＋tcosα， [方法点评] 过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为?(t为 ?y＝y＋tsinα.?0 参数) 该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A，B两点，所求问题与定点到A，B两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB上，利用参数t的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解． 1?[跟踪练习] (2016·大庆模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点P??2，1?，π 倾斜角α＝.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴 6πθ－?. 正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为ρ＝22cos??4? (1)写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设l与圆C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值． ? 解：(1)直线l的参数方程为?π y＝1＋tsin ，?6 数)． π θ－?得：ρ＝2cosθ＋2sinθ， 由ρ＝22cos??4?∴ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，∴x2＋y2＝2x＋2y， 1π x＝＋tcos ，26 3 ＋t，?x＝122 (t为参数)，即?1 y＝1＋t，?2 (t为参 故圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 3＋t?x＝122 (2)把?1 y＝1＋t?2 (t为参数)代入(x－1)2＋(y－1)2＝2得t2－37 t－＝0，设点A，B对24 应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝ 37 ，t1t2＝－， 24 31 . 2 ∴|PA|＋|PB|＝|t1－t2|＝?t1＋t2?2－4t1t2＝ A组 考点能力演练 1．(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)为极坐标方程； (2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sinθ为直角坐标方程． 解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝r2，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝r2，ρ＝r.所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ<2π)． y (2)法一：把ρ＝x2＋y2，sinθ＝代入ρ＝8sinθ， ρ
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