得x2＋y2＝8·y2222，即x＋y－8y＝0. x＋y
法二：方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsinθ，即x2＋y2－8y＝0.
ππ
θ－?＝4和圆C：ρ＝2kcos?θ＋?(k≠0)，若直线2．(2016·济宁模拟)已知直线l：ρsin??4??4?l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．
解：∵ρ＝2kcosθ－2ksinθ， ∴ρ2＝2kρcosθ－2kρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2kx＋2ky＝0，即?x－
?
2?2?2?22
k＋y＋k＝k， 2??2?
∴圆心的直角坐标为?
22?
k，－k.
2??2
22
∵ρsinθ·－ρcosθ·＝4，
22
∴直线l的直角坐标方程为x－y＋42＝0，
∴
?2k＋2k＋42?2?2?
2
－|k|＝2.
即|k＋4|＝2＋|k|，两边平方，得|k|＝2k＋3，
???k>0，?k<0，
?∴或? ?k＝2k＋3???－k＝2k＋3，
解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为?－?
22?
. ，
22?
π?3?3．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝2，点R22，. 4??1＋2sinθ
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值及此时P点的直角坐标．
解：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， x22
∴曲线C的直角坐标方程为＋y＝1，
3点R的直角坐标为R(2,2)． (2)设P(3cosθ，sinθ)，
根据题意可得|PQ|＝2－3cosθ，|QR|＝2－sinθ， ∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin (θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4， 31?
此时点P的直角坐标为??2，2?.
4．(2016·长春模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的ππ
4，?，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C的半径直角坐标为(1，－5)，点C的极坐标为??2?3为4.
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程． (2)试判断直线l与圆C的位置关系．
?
解：(1)直线l的参数方程为?π
y＝－5＋tsin ，?3
为参数)．
πx＝1＋tcos ，
3
?
(t为参数)，即?3
y＝－5＋t，?2
1x＝1＋t，
2
(t
由题知C点的直角坐标为(0,4)，圆C的半径为4，
??x＝ρcosθ
∴圆C方程为x＋(y－4)＝16，将?代入得，圆C的极坐标方程为ρ＝8sinθ.
?y＝ρsinθ?
2
2
(2)由题意得，直线l的普通方程为3x－y－5－3＝0，
|－4－5－3|9＋3
圆心C到l的距离为d＝＝>4，∴直线l与圆C相离．
22
?x＝42cosθ，
5．倾斜角为α的直线l过点P(8,2)，直线l和曲线C：?(θ为参数)交于
?y＝2sinθ，
不同的两点M1，M2.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程； (2)求|PM1|·|PM2|的取值范围．
??x＝8＋tcosα，x2y2解：(1)曲线C的普通方程为＋＝1，直线l的参数方程为?(t为参数)．
324?y＝2＋tsinα，?
(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得：(8＋tcosα)2＋8(2＋tsinα)2＝32， 整理得(8sin2α＋cos2α)t2＋(16cosα＋32sinα)t＋64＝0，
π
0，?， 由Δ＝(16cosα＋32sinα)2－4×64(8sin2α＋cos2α)>0，得cosα>sinα，故α∈??4?∴|PM1||PM2|＝|t1t2|＝
64?128，64?. 2∈?1＋7sinα?9
B组 高考题型专练
π
θ－?＝2，点A的极坐标1．(2015·高考广东卷改编)已知直线l的极坐标方程为2ρsin??4?7π
22，?，求点A到直线l的距离． 为A?4??
π22
θ－?＝2得2ρ?sinθ－cosθ?＝2，所以y－x＝1，故直线l的直角解：由2ρsin??4?2?2?7π
22，?对应的直角坐标为A(2，－2)，所以点A(2，－2)坐标方程为x－y＋1＝0，而点A?4??|2＋2＋1|52
到直线l：x－y＋1＝0的距离为＝. 22
2．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
π
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面
4积．
解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2， C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0. π
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，
4得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.
1
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.
2
?x＝5＋23t，
3．(2015·高考湖南卷)已知直线l：?1
y＝3＋t，?2
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(t为参数)．以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值． 解：(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①
将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②
?x＝5＋23t，
(2)将?1
y＝3＋t，?2
代入②，得t2＋53t＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t1，
t2，则由参数t的几何意义知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
?
4．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?3y＝?2t，
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sinθ，得ρ2＝23ρsinθ， 从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3. 13
(2)设P?3＋t，t?，又C(0，3)，
?22?则|PC|＝
1x＝3＋t，
2
(t为
参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sinθ.
?3＋1t?2＋?3t－3?2＝t2＋12， ?2??2?
故当t＝0时，|PC|取得最小值， 此时，P点的直角坐标为(3,0)．
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