湖北省鄂州市二中2015届高三5月第二次模拟考试
数学(理工类)
命题人 潘内阁 审题人 雷晓莉
本试卷4页共22题,其中15、16题为选考题。满分150分，考试用时120分钟
★祝考试顺利★
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目的要求。
1．已知i是虚数单位，复数Z?|1?3i|(3?i)，Z是Z的共轭复数，则Z的虚部为（ ）
A．2
B．2i C．－2
D．－2i
2．已知集合A?{x|log4x?-1},B?{x|2x?2}，命题p：?x?A,2x?3x；命题q：
?x?B，x3?1?x2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．?p∧q C．p∧?q
D．?p∧?q
3．下列说法中不正确的是（ ） ．
A．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于演绎推理
B．已知数据x1,x2,...,xn的方差是4，则数据?3x1?2015,?3x2?2015,...,?3xn?2015的标准差是6
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好 D．若变量y和x之间的相关系数r??0.9362，则变量y和x之间具有很强的线性相关关系
4．如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段AD1,B1C,C1D1
上.当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（ ） A.
121a B. a224
D1QC1A1MB1C.
2a D. 423a 42NCDA正视方向 B5. 已知n?12??1?1(1?x?2x)dx,则x?1?2??2??的展开式中的常数项为（ ） x?n图1 图2 A.?60 B.?50 C.50 D.60
6. 若 f（x）是奇函数，且x0是y=f（x）+e的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（ ）
x
7．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为
MOD(n,m)，其结果为n除以m的余数，例如
当 MOD(8,3)?2. 下面是一个算法的程序框图，输入的值为36时，则输出的结果为（ ）.
A．7 B．5 C．6 D．4
8. 已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O 地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km 处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一 点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ） AB． C． 1﹣ 1﹣． D． 9. 已知圆C1:(x?1)2?y2?9及圆C2:(x?1)2?y2?r2 (0?r?1动圆M，r是常数)，与两圆都相切（包括内切和外切两种），动圆的圆心M的轨迹是两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1,e2 (e1?e2)，则2e1?A．22?3 B.
1的最小值为( ) e21 C. 22 D.1?2
10. 在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，
y0）且|OP|=r（r＞0），定义：sicosθ=
，称“sicosθ”为“正余弦函数”，对于正余弦
函数y=sicosx，有同学得到以下性质，则这些性质中正确的个数有（ ） ①该函数的值域为[﹣
，
]； ②该函数图象关于原点对称；
③该函数图象关于直线x=对称；
④该函数的单调递增区间为?2k?? 1个A ．
B． 2个 ???4,2k??3??， k∈Z， ?4?D． 4个 C． 3个
二、填空题：(本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．） ．．．．．．．（一）必考题（11—14题）
11．校团委组织“中国梦，我的梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加决赛，若每位
选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有 种．
12. 古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，
第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共有 人． 13.已知a1,a2,a3不全为零，设正数x,y满足x2?y2?2，若不等式
22xa1a2?ya2a3?m(a12?a2?a3)成立，则m的最小值为 ．
f?x?14. 若函数f?x?是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F?x??在I上是减函数，
x2则称y?f?x?是I上的“单反减函数”，已知f?x??lnx,g?x??2x??alnx(a?R)x（1）判断f?x?在?0,1?上 (填是或不是)“单反减函数”； （2）若g?x?是?1,???上的“单反减函数”，则实数a的取值范围为 ．
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题计分） 15．（选修4?1：几何证明选讲）
如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分?PBC，交圆O于D， C,D,P共线．若AB?BD,PC?PB,PD?1，则圆O的半径是 . 16．（选修4?4：坐标系与参数方程）
1?x?t???t在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是?，以坐标原点为极点，x轴正半轴
1?y?t??t??为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是?sin(??)?1，则两曲线交点间的距离
3是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，b(b?3c)?(a?c)(a?c)，且
?B为钝角．
（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a?
18.已知数列?an?的前n项和为Sn,a1?1,an?0,且Sn?（1）求数列?an?的通项公式； （2）记bn?1，求b?3c的取值范围． 21anan?1(n?N?) 21anan?1an?2，设Tn为数列bn的前n项和，且Tn?x?m?x?3m对任意实数
x恒成立，求m的取值范围。 19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，
BC⊥CD，∠CBD=60°，BC=2． （Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ACD； （Ⅱ）若E是BD的中点，F为线段AC上的动点，EF与平面ABC所
成的角记为θ，当tanθ的最大值为的余弦值．
20.某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y=70） 4 5 6 前6小时内的销售量t（单位：件） 30 x y 频数 （Ⅰ）若该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？ （Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．
，求二面角A﹣CD﹣B
y2x2?1(a?2) 21．（本小题满分13分）如图，抛物线C1:y?2px(p?0)与椭圆C2:2?4a交于第一象限内一点M，F为抛物线C1的焦点，F1,F2分别为椭圆C2的上下
2焦点，已知MF?OF?1,MF?OF?10。 （1）求抛物线C1和椭圆C2的方程；
（2）是否存在经过M的直线l，与抛物线和椭圆分别交于
非M的两点P,Q，使得F1P?F2Q?2OM？若存在 请求出直线的斜率，若不存在，请说明理由。
22.（本小题满分14分）
设函数f(x)?x?(x?1)ln(x?1)，?x??1? (Ⅰ)求f(x)的最大值；
(Ⅱ)证明：当n?m?1时，(1?n)?(1?m)； (Ⅲ)证明：当n?2013，且x1,x2,x3,mn,xn?R?,x1+x2+x3??xn?1时，
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