2011年高考数学理科试卷（全国1卷）（含答案）（新课标卷卷）

（Ⅰ）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集 （Ⅱ）若不等式f(x)?0的解集为?x|x??1? ，求a的值。

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试卷参考答案

一、选择题

（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题

x2y2?1 （15）83 （16）27 （13）-6 （14）?168三、解答题 （17）解：

232?9a2a6得a3?9a4（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3所以q2?1。有条件91可知a>0,故q?。

311由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?。故数列{an}的通项式为an=n。

33（Ⅱ ）bn?log1a1?log1a1?...?log1a1

??(1?2?...?n)n(n?1)??2

故

1211????2(?) bnn(n?1)nn?1111111112n??...???2((1?)?(?)?...?(?))?? b1b2bn223nn?1n?112n所以数列{}的前n项和为?

bnn?1(18)解：

（Ⅰ ）因为?DAB?60?,AB?2AD, 由余弦定理得BD?3AD

从而BD2+AD2= AB2，故BD?AD 又PD?底面ABCD，可得BD?PD 所以BD?平面PAD. 故PA?BD

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则

A?1,0,0?,B0，3,0,C?1,3,0,P?0,0,1?。

uuuvuuuvuuuvAB?(?1,3,0),PB?(0,3,?1),BC?(?1,0,0)

????设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则

即

?x?3y?03y?z?0

因此可取n=(3,1,3)

uuuvPB?0 m?u设平面PBC的法向量为m，则 uuvm?BC?0可取m=（0，-1，?3） cosm,n?27 7?427 ??727故二面角A-PB-C的余弦值为 ?（19）解

（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42

22?8=0.3，所10032?10?0.42，所以100（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间

?90,94?,?94,102?,?102,110?

的频率分别为0.04，,054,0.42，因此

P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为

X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20）解：

uuur(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=（-x,-1-y）,

uuuruuuruuuruuuruuurMB=(0,-3-y), AB=(x,-2).再由愿意得知（MA+MB）? AB=0,即

（-x,-4-2y）? (x,-2)=0. 所以曲线C的方程式为y=

12x-2. 4121x-2上一点，因为y'=x,所以l的斜42(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=率为

1x0 21x0(x?x0)，即x0x?2y?2y0?x2?0。 2.又y0?12x0?2，所以 4因此直线l的方程为y?y0?则O点到l的距离d?2|2y0?x0|2x0?412x0?4142d?2?(x0?4?)?2,

22x0?42x0?42当x0=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.

（21）解：

?(（Ⅰ）f'(x)?x?1?lnx)bx?

(x?1)2x2

?f(1)?1,1?由于直线x?2y?3?0的斜率为?，且过点(1,1)，故?1即

f'(1)??,2??2?b?1,??a1 ?b??,??22 解得a?1，b?1。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

lnx1?，所以 x?1xlnxk1(k?1)(x2?1)f(x)?(?)?(2lnx?)。 2x?1x1?xx(k?1)(x2?1)(k?1)(x2?1)?2x考虑函数h(x)?2lnx?。 (x?0)，则h'(x)?xx2k(x2?1)?(x?1)2(i)设k?0，由h'(x)?知，当x?1时，h'(x)?0。而h(1)?0，

x2故

1h(x)?0； 1?x21当x?（1，+?）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 21?xlnxklnxk从而当x>0,且x?1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

x?1xx?1x1（ii）设00,故h’ （x）>0,

1?k11而h（1）=0，故当x?（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设21?k1?x当x?(0,1)时，h(x)?0，可得矛盾。

（iii）设k?1.此时h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x?（1，+?）时，h（x）>0，可得

1 h（x）<0,与题设矛盾。 1?x2 综合得，k的取值范围为（-?，0] （22）解：

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC, 即

ADAE?.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ACAB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.

故 AD=2，AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= 故C,B,D,E四点所在圆的半径为52 （23）解：

（I）设P(x,y),则由条件知M(

1(12-2)=5. 2XY,).由于M点在C1上，所以 22?x??2cos?,???x?4cos???2? 即 ????

y?y?4?4sin????2?2sin????2??x?4cos?从而C2的参数方程为?（?为参数）

?y?4?4sin?（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为??4sin?，曲线C2的极坐标方程为??8sin?。 射线??射线???3与C1的交点A的极径为?1?4sin与C2的交点B的极径为?2?8sin?3， 。

?3?3所以|AB|?|?2??1|?23. （24）解：

（Ⅰ）当a?1时，f(x)?3x?2可化为|x?1|?2。 由此可得 x?3或x??1。

故不等式f(x)?3x?2的解集为{x|x?3或x??1}。

( Ⅱ) 由f(x)?0的 x?a?3x?0 此不等式化为不等式组

?x?a?x?a或? ?x?a?3x?0a?x?3x?0???x?a?x?a???aa 即 ?x? 或?a????4?2因为a?0，所以不等式组的解集为?x|x??a2?

a由题设可得?= ?1，故a?2

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