2009级博士高级计量经济学指南（西南财大） - 图文

西南财经大学2009级博士研究生高级计量经济学学习指南

2009级博士高级计量经济学学习指南

第一部分 条件期望与条件方差 第二部分 古典假设与最小二乘 第三部分 最小二乘的有限样本 第四部分 最小二乘的大样本性质 第五部分 非球型扰动与广义回归模型 第六部分 异方差与自相关

第七部分 工具变量和两阶段最小二乘 第八部分 广义矩估计 第九部分 极大似然估计

第十部分 检验与推断（Wald检验、LM检验和LR检验） 第十一部分 模型的设定和检验 （第十二部分 上机操作）

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第一部分 条件期望与条件方差

在正式进入计量经济学的学习之前，需要对条件期望以及条件方差熟练掌握，它们将在以后的学习中经常遇到。

一、条件期望 1、条件均值的定义 条件均值的定义为：

m(x)?yf?y|x?dy??E?y|x???y??yPy|x?y|x??y若y是连续的若y是离散的

应当指出的是，条件期望是谁的函数。

2、条件均值的性质

条件均值有几个简单而有用的性质：

（1）迭代期望律 ( Law of Iterated expectations, LIE) 条件期望的条件期望等于无条件期望。

E?y??Ex??E?y|x???，其中，记号Ex???表示关于 x值的期望。

Interpretation: the expectation of Y can be calculated by first conditioning on X, finding E(Y |X) and then averaging this quantity with over X.

Proof: 离散情形：

We need to show: E?y???E?y|X?x?PX?X?x?

xWhere E?Y|X?x???yPY|X?y|x?.

yWe have

?E?Y|X?x?P?X?x???y?P?y|x?P?x???yP?Y?y??E?Y?.

XY|XXYxyxyContinuous Case:

EX?g???gf?x?dx，and E?y|x???yf?y|x?dy

xy?EX??E?Y|X?x???????E?Y|X?x???f?x?dx

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?? ????yf?y|x?dy?f?x?dx

??x?y? ???yf?y|x?dyf?x?dx

xy ???yf?y|x?f?x?dxdy

xy ???yf?x,y?dxdy??yf?y?dy?E?y?

xyy Q.E.D. 迭代期望律的一般表述方式 E?y|x??E?E?y|w?|x?

其中，x?g?w?，x是w的子集，g???为非随机函数。 语义：若已知w的结论，我们也就知道x的结论。 记： ?1?w??E?y|w?, ?2?x??E?y|x? 则：?2?x??E?y|x??E??1?w?|x?

Proof 需要较多的测度论的知识，这里只是加以说明证明的思路。

E??E?y|w?|x??中，w的信息多于x。因此，当?1?w??E?y|w?时，运用x的信息，也可描述?2?x??E?y|x?。例如，w和x分别为天平的砝码，w为1克的集合，x为5克的集合，因此，有x?g?w?。当我们用w的信息描述y时，也可以用x的信息加以描述。 特例： E?y|x??E?E?y|x,z?|x? 另外，E?y|x??E?E?y|x?|w?也成立。

（2）E?g(y)h(x)|y??g(y)E?h(x)|y? （3）E?g(y)h(x)??E?g(y)E?h(x)|y??

E?g(y)h(x)??E?E?g(y)h(x)|y???E?g(y)E?h(x)|y??

（4）E?ax?by|z??aE?x|z??bE?y|z? 更为一般的情形：

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设，a1?x?,a2?x?,那么：

,aG?x?和b?x?为x的标量函数，y1,y2,,yG为随机变量，

?G?GE??aj?x?yj?b?x?|x???aj?x?E?yj|x??b?x? ?j?1?j?1（5）E?E?x|?t?1?|?t??E?x|?t?，?t表示t时刻的信息集。 （6）对于任何二元变量的分布，Cov?x,y??Cov?x,E?y|x??

E|y?xx dx ???x?E?x???x?f?x证明：Cov(x,y)?Exy?ExEy

)?] ?E[E(xy|xExE?y[Ex(E|y?)]xE[xE( Eyx ?Cov?x,E?y|x??

)[E(y|?x) ?E{(x?Ex)E(y|x)?] ?E[(x?ExE(E(y| x)E[?(xEx)?E]y?E[(xE)x (EyxE|y?xx dx ???x?E?x???x?f?x从这个公式中，我们需要理解线性回归中的两个古典假设：

E(u|x)?0?Cov(x,u)?0

由此，零均值假定（在xi给定的条件下，ui的条件均值为零）（强外生），与随机扰动项与解释变量不相关的假定（弱外生），这将在以后的学习中经常提及。

,（7）若定义??y?E?y|?x，在假设Egi?x????, j?1,2,3,J和E?????条件下，有E?g?x????0。其中，g?x?为任意函数。特殊情形，

E????0，Cov?x,???0。

证明：

E??|x??E??y?E?y|x??|x? ?E?y|x??E?E?y|x?|x? ?E?y|x??E?y|x??0 - 4 -