2019年高三理科数学专题复习：圆锥曲线中的综合问题(解析版)

2019年高三理科数学专题复习：圆锥曲线中的综

合问题（解析版）

[建议用时：45分钟]

x2y23

1．(2016·哈尔滨一模)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为2，右顶点A(2,0)．

(1)求椭圆C的方程；

?3?

(2)过点M?2，0?的直线l交椭圆于B，D两点，设直线AB的斜率为k1，直

??线AD的斜率为k2，求证：k1k2为定值，并求此定值.

【导学号：04024119】

??c3

[解] (1)由题意得?＝，a2??a＝2，

＝1．

a2＝b2＋c2，

?a＝2，

解得?b＝1，

?c＝3，

x22

所以C的方程为4＋y

4分

3

(2)证明：由题意知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x＝my＋2，与x22722＋y＝1联立得(m＋4)y＋3my－44＝0， 6分 由Δ＞0，设B(x1，y1)，D(x2，y2)， 7

－4

－3m

则y1＋y2＝2，yy＝，

m＋412m2＋4

8分

y1y2y1y2y1y2k1k2＝＝＝1??1?11 ?x1－2??x2－2??2

?my1－2??my2－2?my1y2－2m?y1＋y2?＋4????7＝－7232124， －4m＋2m＋4?m＋4?

7－4

＝

7

∴k1k2为定值，定值为－4．

12分

x2y2?53?

2．(2017·海口模拟)已知椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)经过点?，?，离心率为

2??225

5，点O为坐标原点．

图13-2

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过椭圆E的左焦点F任作一条不垂直于坐标轴的直线l，交椭圆E于P，Q两点，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上． 53?2＋2＝1，?4a4b

[解] (1)由题易得?b242

??e＝1－a2＝5，

?a＝5，

解得?

?b＝1，

x22

所以c＝2，所以椭圆E的方程为5＋y＝1.5分 (2)证明：设直线l的方程为

y＝k(x＋2)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， x22

联立y＝k(x＋2)与5＋y＝1，

可得(1＋5k2)x2＋20k2x＋20k2－5＝0，6分 20k2－520k2

所以x1＋x2＝－，xx＝．

1＋5k2121＋5k2

8分

1

设直线FN的方程为y＝－k(x＋2)，M(x0，y0)，9分 x1＋x210k22k

则x0＝2＝－， 2，y0＝k(x0＋2)＝1＋5k1＋5k2

y01所以kOM＝x＝－5k，

0

10分

1

所以直线OM的方程为y＝－5kx， 1y＝－??5kx，联立?1

y＝－??k?x＋2?，

5

x＝－??2，解得?1

y＝??2k，

5

所以点N在定直线x＝－2上．

12分

x2y2

3．(2017·石家庄二模)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，3B，且长轴长为8，T为椭圆上一点，直线TA，TB的斜率之积为－4. (1)求椭圆C的方程；

→→

(2)设O为原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求OP·OQ→→＋MP·MQ的取值范围．

yy[解] (1)设T(x，y)，则直线TA的斜率为k1＝，直线TB的斜率为k2＝．x＋4x－4

3yy3

于是由k1k2＝－4，得·＝－4，

x＋4x－4x2y2

整理得16＋12＝1．

4分

2分

(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐x2y2??＋＝1，

标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立?1612

??y＝kx＋2，＋3)x2＋16kx－32＝0，

16k32

所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－2．

4k＋34k＋3→→→→

从而，OP·OQ＋MP·MQ

＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)] ＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 －80k2－528＝＝－20＋．

4k2＋34k2＋3

8分 6分

得(4k2

52→→→→

－20＜OP·OQ＋MP·MQ≤－3． 当直线PQ斜率不存在时，

10分

易得P，Q两点的坐标为(0,23)，(0，－23)， →→→→所以OP·OQ＋MP·MQ的值为－20.

52?→→→→?综上所述，OP·OQ＋MP·MQ的取值范围为?－20，－3?．

??

12分

4．(2017·广东六校联盟联考)已知点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，过点P作→→

PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使QP＝PM. (1)求点M的轨迹E的方程；

(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中的曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值．

【导学号：04024120】

→→

[解] (1)设点M(x，y)，∵QP＝PM，∴P为QM的中点， ?x?

又有PQ⊥y轴，∴P?2，y?，

??∵点P是圆：x2＋y2＝1上的点， ?x?∴?2?2＋y2＝1， ??

x22

即点M的轨迹E的方程为4＋y＝1．

4分

1分 2分

(2)由题意可知直线l与y轴不垂直，故可设l：x＝ty＋m，t∈R，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵l与圆O：x2＋y2＝1相切， |m|

∴2＝1，即m2＝t2＋1，①

t＋1

22

?x＋4y＝4，由?消去x， ?x＝ty＋m

6分

并整理得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0， 其中Δ＝4m2t2－4(t2＋4)(m2－4)＝48＞0，