2019年高三理科数学专题复习：圆锥曲线中的综合问题(解析版)

－2mtm2－4

则y1＋y2＝2，y1y2＝2.②

t＋4t＋3∴|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2 ＝?t2＋1??y1＋y2?2－4y1y2， 将①②代入上式得|AB|＝t＋1

2 8分

24m2t24?m－4?43|m|

－2＝2，|m|≥1，

?t2＋4?2t＋4m＋3

10分

1143|m|23233

∴S△AOB＝2|AB|·1＝2·2＝≤＝1，当且仅当|m|＝

323|m|，即m＝m＋3

|m|＋

|m|±3时，等号成立，∴(S△AOB)max＝1．

12分 3

的椭圆过点2

5．(2016·开封二模)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为?2??2，?.

2??

图13-3

(1)求椭圆的方程；

(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围． [解] (1)由题意可设椭圆方程为 x2y2

a2＋b2＝1(a＞b＞0)，

c321

则a＝2(其中c2＝a2－b2，c＞0)，且a2＋2b2＝1，故a＝2，b＝1. x22

所以椭圆的方程为4＋y＝1．

6分

(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

?y＝kx＋m，由?2消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，5分 2

?x＋4y＝4，则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0， 4?m2－1?8km

且x1＋x2＝－，xx＝．

1＋4k2121＋4k2

6分

故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，7分 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

22

y1y2kx1x2＋km?x1＋x2?＋m2所以x·＝＝k，

x1x21x2

8k2m22

即－2＋m＝0． 1＋4k

11又m≠0，所以k2＝4，即k＝±2.

8分 9分

由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m2＜2，且m2≠1. 设d为点O到直线l的距离， 则d＝

|2m|

， 5

10分

|PQ|＝?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2]＝5?2－m2?，11分

22m＋2－m12

所以S＝2|PQ|d＝m2?2－m2?＜＝1(m≠1)，

2

故△OPQ面积的取值范围为(0,1)．

12分